Fonksiyon ve Polinom Sınavı

$P(x) = (x-2)^3(x+1)$ polinomunun grafiği, $x = 2$ noktasında $x$ eksenini kesip diğer tarafa geçer.

$P(x) = (x+4)^2(x-3)$ polinomunun grafiği, $x = -4$ noktasında $x$ eksenini kesip diğer tarafa geçer.

$f(x) = -3x^4 + x^2 - 1$ polinomunda $x$ sağa doğru büyürken ($x \to +\infty$), fonksiyon değeri $-\infty$'a gider.

$P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ polinomunun grafiği $x$ eksenini yalnızca iki farklı noktada keser.

$P(x) = (x-1)(x-3)$ polinomu için 1 < x < 3 aralığındaki tüm değerlerde P(x) < 0 olur.

Baş katsayısı negatif olan beşinci dereceden bir $P(x)$ polinomu veriliyor. $x \to +\infty$ ile $x \to -\infty$ durumlarında grafiğin uç davranışı sırasıyla nasıldır?

Bir öğrenci, $f(x) = (x-1)^2(x+4)$ polinomunun grafiğini çizerken '$x = -4$ noktasında grafik $x$ eksenine teğet olur' demiştir. Öğrencinin hatası nedir?

$f(x) = (x+2)^2(x-3)$ polinomunun grafiği hangi aralıkta $x$ ekseninin altındadır, yani f(x) < 0 koşulunu sağlar?

Derecesi $5$ olan bir polinom fonksiyonunun grafiği en fazla kaç noktada $x$ eksenini kesebilir ve en fazla kaç dönüm noktasına sahip olabilir?

Baş katsayısı $2$ olan üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinomunun kökleri $-1$, $1$ ve $3$'tür. Buna göre $P(x)$'in sabit terimi kaçtır?

Başkatsayısı negatif ve derecesi tek olan bir polinomda $x \to +\infty$ iken fonksiyonun değeri ___ gider.

$P(x) = (x-1)^{2}(x+4)$ polinomunun işaret tablosunda $x = -4$ kökünden geçerken fonksiyonun işareti değişir; fakat $x = 1$ kökünden geçerken işaret ___.

Derecesi $n$ olan bir polinom fonksiyonunun grafiği en fazla $n-1$ tane ___ noktasına sahip olabilir.

Grafiği $x$ eksenini $x = -2$ ve $x = 3$ noktalarında kesen ve başkatsayısı $1$ olan en düşük dereceli polinom $P(x) =$ ___.

$P(x) = (x+5)(x-2)^{3}(x-7)^{2}$ polinomunun grafiği $x$ eksenine yalnızca $x =$ ___ noktasında teğettir.

Bir polinomun grafiği, kökünün katlılığına göre eksenle ya kesişir ya da teğet kalır. Tek katlı kökte işaret değiştiği için eğri ekseni delip geçer; çift katlı kökte işaret korunduğu için eğri eksene dokunup geri döner.

Katlılık sayısı, grafiğin kökte eksene nasıl yaklaştığını belirler: çift katlı kökte teğetlik, tek katlı kökte kesme, üç gibi tek-çift karışımlarında ise ekseni yatık kesme görülür. Aynı ifadede farklı köklerin katlılığı farklı olabilir.

Uç davranışı belirleyen iki etken başkatsayının işareti ve derecenin tek-çift olmasıdır. Derece çift olduğunda iki uç aynı yöne gider, derece tek olduğunda uçlar zıt yönlere gider; başkatsayının işareti ise bu yönleri ters çevirir.

İşaret tablosu, grafiğin eksenin üstünde mi altında mı olduğunu ve köklerde işaretin değişip değişmediğini gösterir. İşaret değişimi tek katlı kökü, değişmemesi çift katlı kökü işaret eder; bu, grafiğin kesme mi teğet mi olacağını önceden söyler.

Dönüm noktaları, grafiğin artış-azalış yönünün değiştiği yerlerdir. Derecesi $n$ olan bir polinomun en fazla $n-1$ dönüm noktası olur; çift katlı kökler işaret değiştirmese de grafiğin teğet olup döndüğü bir yerel ekstremuma karşılık gelebilir.