İki Eğri Arasındaki Alan - AYT Matematik

Üstte Kim Var?

İki eğri arasındaki alanı bulmak, bir sandviçin içindeki dolguyu hesaplamaya benzer. Tek bir eğrinin altındaki alanı zaten biliyorsun; şimdi iş, iki eğrinin arasında kalan bölgeyi bulmakta. Peki bu bölgeyi nasıl hesaplarız? Cevap, hangi eğrinin üstte olduğunu doğru belirlemekte gizli.

İki Eğri Arasında Kalan Alan Kesişim noktaları sınır olmak üzere daima Üst Fonksiyondan Alt Fonksiyonun çıkarıldığını (pozitif dikey şerit kalınlığı) kanıtlar.

Neden "Üstteki Eğri - Alttaki Eğri"?

Bir önceki derste, tek bir eğrinin altında kalan alanı $\int_a^b f(x)\,dx$ ile hesapladığını hatırla. Bu integral, aslında $x$ -ekseni ile $f(x)$ eğrisi arasındaki alanı veriyordu. Şimdi iki eğri var: $f(x)$ ve $g(x)$ . Aralarındaki alanı bulmak için, üstteki eğrinin altında kalan büyük alandan, alttaki eğrinin altında kalan küçük alanı çıkarırız.

Bu mantığı formüle dökelim. $a$ ve $b$ , eğrilerin kesişim noktalarının $x$ koordinatları olsun. Eğer $f(x) \geq g(x)$ her $x \in [a, b]$ için geçerliyse, aradaki alan:

A = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) dx

Bu formülün güzelliği, iki ayrı integral hesaplamak zorunda kalmamandır. $\int_a^b f(x)\,dx$ büyük alanı, $\int_a^b g(x)\,dx$ küçük alanı verir. Farkları, tam olarak aradaki bölgeyi verir.

Kesişim Noktalarını Bulmak: Sınırları Belirleme

Peki $a$ ve $b$ sınırları nereden gelir? Bu sınırlar, iki eğrinin birbirini kestiği noktalardır. Bu noktaları bulmak için iki fonksiyonu birbirine eşitleriz:

f(x) = g(x)

Bu denklemi çözmek, bize kesişim noktalarının $x$ koordinatlarını verir. Bu adım kritiktir; çünkü yanlış sınırlarla yapılan her integral hesabı, yanlış sonuç verir.

Uyarı

Dikkat En sık yapılan hata, sınırları bulmadan önce hangi fonksiyonun üstte olduğunu varsaymaktır. Kesişim noktaları arasında, üstteki ve alttaki eğri yer değiştirebilir. Bu yüzden önce kesişim noktalarını bul, sonra aralıkta bir test noktası seçerek hangi fonksiyonun daha büyük olduğunu kontrol et.

Adım Adım Tam Çözüm

Şimdi bu yöntemi somut bir örnekle pekiştirelim. $f(x) = -x^2 + 4$ ve $g(x) = x + 2$ eğrileri arasında kalan alanı hesaplayalım.

Parabol ve Doğru Arasındaki Alan

f(x) = g(x) \Rightarrow -x^2 + 4 = x + 2

Kesişim noktalarını bulmak için fonksiyonları eşitleriz.

-x^2 - x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0

Tüm terimleri bir tarafa toplayıp denklemi sadeleştiririz.

(x + 2)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -2 \text{ veya } x = 1

Denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri buluruz.

x = 0 \text{ test noktası: } f(0) = 4, \; g(0) = 2 \Rightarrow f(x) \geq g(x)

Kesişim noktaları arasında (örneğin x=0'da) hangi fonksiyonun üstte olduğunu kontrol ederiz.

A = \int_{-2}^{1} \left[ (-x^2 + 4) - (x + 2) \right] dx

Üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkararak integrali kurarız.

A = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}

Polinomun integralini alırız.

A = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)

Üst sınır (1) ve alt sınır (-2) için antiderivatifin değerlerini hesaplarız.

A = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

Aritmetik işlemleri yaparak sonucu buluruz. A = \frac{9}{2} \text{ birim kare}

Peki Ya Eğriler $y$ Eksenine Göre İç İçeyse?

Şimdiye kadar hep $x$ eksenine göre integralleri düşündük. Peki ya eğriler, $y$ eksenine göre sağda ve solda kalıyorsa? Örneğin, $x = y^2$ ve $x = y + 2$ eğrileri arasındaki alanı bulmak istediğimizde, bu sefer $y$ cinsinden düşünürüz.

Bu durumda, "üstteki" ve "alttaki" kavramları yerine "sağdaki" ve "soldaki" kavramları devreye girer. Formül ise şöyle olur:

A = \int_c^d \left( x_{\text{sağ}} - x_{\text{sol}} \right) dy

Burada $c$ ve $d$ , eğrilerin kesişim noktalarının $y$ koordinatlarıdır. Bu yöntem, aynı mantığın $y$ eksenine göre uyarlanmış halidir. Bu konuya ilerleyen derslerde daha detaylı bakacağız; şimdilik bu fikrin varlığını bilmen yeterli.

İpucu

Pratik İpucu Hangi eksene göre integral alacağına karar verirken, bölgenin şekline bak. Eğer bölge, dikey şeritlerle (yukarıdan aşağıya) daha kolay ifade ediliyorsa $x$ 'e göre integral al. Yatay şeritlerle (soldan sağa) daha kolay ifade ediliyorsa, $y$ 'ye göre integral al. Bu seçim, işlemleri çok daha basit hale getirir.

Sıra Sende

Şimdi bu yöntemi sen dene. $f(x) = x^2$ ve $g(x) = 2x$ eğrileri arasında kalan alanı hesapla.

İpucu: Önce kesişim noktalarını bulmayı unutma. Ardından, aralıkta bir test noktası seçerek hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirle.

Çözümü Göster

Kesişim noktaları için $x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0$ . Yani $x = 0$ ve $x = 2$ .

$x = 1$ test noktasında $f(1) = 1$ ve $g(1) = 2$ . Bu durumda $g(x) \geq f(x)$ , yani $g$ üstte.

A = \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

Cevap: $\boxed{\frac{4}{3}}$

Bu yöntem, iki eğri arasındaki her türlü alanı hesaplamanın anahtarını verir: kesişim noktalarını bul, üstteki eğriyi belirle, sonra integrali al. Bu üç adımı doğru uyguladığında, karşına çıkacak tüm alan problemlerini çözebilirsin.

İki eğri arasındaki alanı bulmak için her zaman üstteki eğriden alttaki eğriyi çıkarırız. Doğru. Formül, üstteki eğrinin integralinden alttaki eğrinin integralini çıkarmayı gerektirir, bu da aradaki bölgeyi verir.
f(x) = x² ve g(x) = x + 2 eğrilerinin kesişim noktalarının x koordinatları nelerdir? x² = x + 2 denklemini çözersek x² - x - 2 = 0, yani (x - 2)(x + 1) = 0. Buradan x = 2 ve x = -1 bulunur.
İki eğri arasındaki alanı hesaplarken, integralin sınırları eğrilerin ___ noktalarının x koordinatlarıdır. İntegralin alt ve üst sınırları, iki eğrinin birbirini kestiği noktaların x koordinatlarıdır. Bu sınırlar, alanın başladığı ve bittiği yerleri belirler.

Sınırları Belirleme

Kesişim noktalarını bulmak, iki eğri arasındaki alan problemini çözmenin anahtarıdır çünkü bu noktalar, integralin sınırlarını, yani alanın başladığı ve bittiği yerleri belirler. Bir önceki derste gördüğün gibi, alanı hesaplamak için üstteki fonksiyondan alttakini çıkarıyoruz. Peki, hangi aralıkta? İşte bu sorunun cevabı, eğrilerin birbirini kestiği noktalarda gizlidir.

Bu kesişim noktalarını bulmak için iki fonksiyonu birbirine eşitleriz. Örneğin, $f(x) = x^2$ ve $g(x) = x + 2$ eğrilerini ele alalım. Bu iki eğrinin nerede kesiştiğini bulmak için $f(x) = g(x)$ denklemini çözeriz:

x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0

Buradan $x = 2$ ve $x = -1$ çözümleri elde edilir. Bu iki $x$ değeri, alan hesabımızın alt ve üst sınırları olacaktır. Yani integralimiz $\int_{-1}^{2}$ şeklinde olacaktır.

Peki, bu iki eğri arasında kalan alanı bulmak için hangi fonksiyonu üstte, hangisini altta kullanacağız? Bunu belirlemenin en pratik yolu, iki kesişim noktası arasından bir test değeri seçmektir. Örneğin, $x = 0$ noktasını ele alalım. Bu noktada $f(0) = 0^2 = 0$ ve $g(0) = 0 + 2 = 2$ olur. Görüldüğü gibi, $x = 0$ için g(x) > f(x) olduğundan, bu aralıkta üstteki eğri $g(x)$ , alttaki eğri ise $f(x)$ 'tir.

Bu bilgiyle alan formülünü artık uygulayabiliriz:

\text{Alan} = \int_{-1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx

Bu integrali hesaplamak için önce fonksiyonun ters türevini alırız:

\left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}

Şimdi sınır değerlerini yerine koyarak işlemi tamamlayalım. Üst sınır için ( $x=2$ ):

\frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}

Alt sınır için ( $x=-1$ ):

\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}

Son olarak, üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değeri çıkarırız:

\frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

Böylece, $f(x) = x^2$ ve $g(x) = x + 2$ eğrileri arasında kalan alan $\frac{9}{2}$ birimkaredir.

Uyarı

Dikkat Hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirlerken sadece grafiğe bakmak yanıltıcı olabilir. Özellikle sınavda grafik çizmeden soruyu çözmen gerektiğinde, iki kesişim noktası arasından seçeceğin bir test değeri (örneğin $x = 0$ ) ile hangi fonksiyonun daha büyük değer ürettiğini kontrol etmek en güvenilir yöntemdir. Bu testi yapmadan formülü uygulamak, alanı negatif bulmana veya yanlış bölgeyi hesaplamana neden olabilir.

Şimdi bu yöntemi biraz daha zorlu bir duruma uygulayalım. Diyelim ki $f(x) = x^3$ ve $g(x) = x$ eğrileri arasında kalan alanı bulmamız isteniyor. Önce kesişim noktalarını bulalım:

x^3 = x \implies x^3 - x = 0 \implies x(x^2 - 1) = 0 \implies x(x-1)(x+1) = 0

Buradan üç kesişim noktası elde ederiz: $x = -1$ , $x = 0$ ve $x = 1$ . Bu durum, alanı tek bir integralle bulamayacağımızı gösterir. Çünkü $x = -1$ ile $x = 0$ arasında hangi fonksiyonun üstte olduğu, $x = 0$ ile $x = 1$ arasında hangi fonksiyonun üstte olduğundan farklıdır.

Bu aralıkları ayrı ayrı inceleyelim. $x = -1$ ile $x = 0$ arasında bir test değeri olarak $x = -0.5$ seçelim. $f(-0.5) = (-0.5)^3 = -0.125$ ve $g(-0.5) = -0.5$ olur. Bu aralıkta f(x) > g(x) olduğundan, üstteki eğri $f(x)$ 'tir.

$x = 0$ ile $x = 1$ arasında ise test değeri olarak $x = 0.5$ seçelim. $f(0.5) = (0.5)^3 = 0.125$ ve $g(0.5) = 0.5$ olur. Bu aralıkta ise g(x) > f(x) olduğundan, üstteki eğri $g(x)$ 'tir.

Bu durumda toplam alanı bulmak için iki ayrı integral hesaplamamız gerekir:

\text{Alan} = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx

Bu hesaplamayı yapalım:

İlk integral için, $f(x) - g(x) = x^3 - x$ 'in ters türevi $\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$ 'dir. Sınırları uygulayalım:

\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left(0 - 0\right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}

İkinci integral için, $g(x) - f(x) = x - x^3$ 'ün ters türevi $\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}$ 'tür. Sınırları uygulayalım:

\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - \left(0 - 0\right) = \frac{1}{4}

Toplam alan:

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Bu örnek, iki eğrinin birden fazla noktada kesişmesi durumunda, aralarındaki alanı bulmak için bölgeyi parçalara ayırmamız gerektiğini gösteriyor. Her bir parçada hangi fonksiyonun üstte olduğunu ayrı ayrı belirleyip, bu parçaların alanlarını topluyoruz.

İpucu

İpucu $y$ eksenine göre integral alman gereken durumlarda da aynı mantık geçerlidir. Eğrileri $x = f(y)$ ve $x = g(y)$ şeklinde ifade eder, kesişim noktalarını $y$ değerlerini bularak belirlersin. Ardından, "sağdaki eğri - soldaki eğri" formülünü $dy$ 'ye göre integral alarak uygularsın.…

Doğru ve Parabol Arasında

İki eğri arasındaki alan formülü $\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ ile hesaplanır ve burada $f(x)$ üstteki eğri, $g(x)$ ise alttaki eğridir. Ancak bu "üstte" ve "altta" kavramı, fonksiyonların hangi aralıkta olduğuna göre değişebilir. Bir doğru ile bir parabol arasındaki alanı hesaplarken ilk yapman gereken, hangi fonksiyonun hangi aralıkta üstte kaldığını belirlemektir. Bu belirleme, integralin işaretini doğru kurmanın anahtarıdır.

Not

Önceki derste kesişim noktalarını bularak integralin sınırlarını belirlemiştik. Şimdi bu sınırlar içinde hangi eğrinin üstte olduğunu netleştireceğiz.

Grafik Üzerinde "Üstte" Olmak Ne Demek?

Bir aralıkta $f(x)$ fonksiyonunun grafiği, $g(x)$ fonksiyonunun grafiğinin üzerinde ise, o aralıkta f(x) > g(x) olur. Bu durumda alan, $\int (f(x) - g(x))\,dx$ ile hesaplanır. Eğer fonksiyonlar kesişim noktaları arasında yer değiştirirse, integrali parçalara ayırman gerekir.

Yukarıdaki grafikte $y = x$ doğrusu ile $y = x^2$ parabolü arasındaki alanı düşünelim. Bu iki eğri $(0,0)$ ve $(1,1)$ noktalarında kesişir. Ancak dikkat et: 0 < x < 1 aralığında doğru üstte, 1 < x < 2 aralığında ise parabol üsttedir. Bu yüzden alanı tek bir integralle hesaplayamazsın; iki ayrı integral alman gerekir.

Pratik Kural: Test Noktası Seç

Hangi fonksiyonun üstte olduğunu bulmanın en hızlı yolu, kesişim noktaları arasındaki herhangi bir $x$ değerini seçip iki fonksiyonda da yerine koymaktır. Hangi fonksiyon daha büyük değer veriyorsa, o fonksiyon o aralıkta üsttedir.

Örnek: 0 < x < 1 aralığında $x = 0.5$ seçelim.

Doğru: $y = 0.5$
Parabol: $y = (0.5)^2 = 0.25$

Doğru daha büyük değer verdiği için bu aralıkta doğru üstte, parabol altta olur.

Tam Çözüm: Doğru ve Parabol Arasındaki Alan

Şimdi $f(x) = x$ ve $g(x) = x^2$ arasındaki, $x = 0$ ile $x = 1$ arasında kalan alanı hesaplayalım.

Doğru ve Parabol Arasındaki Alan

A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx

Üstteki fonksiyon x, alttaki x². Farkını alıp 0'dan 1'e integre ediyoruz.

A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}

Her terimi kuvvet kuralıyla integre ediyoruz: \frac{x^{n+1}}{n+1}

A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 - 0 \right)

Üst sınır 1'i ve alt sınır 0'ı yerine koyuyoruz.

A = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}

Paydaları eşitleyip çıkarıyoruz. A = \frac{1}{6} \text{ birim kare}

Bu sonuç, iki eğri arasında kalan bölgenin alanının $\frac{1}{6}$ birim kare olduğunu gösterir.

Sıra Sende: Benzer Bir Problem

Şimdi benzer bir problemi sen çöz. $f(x) = 2x$ doğrusu ile $g(x) = x^2$ parabolü arasında kalan alanı hesapla. Bu iki eğri $x = 0$ ve $x = 2$ noktalarında kesişir.

İpucu: Hangi fonksiyonun üstte olduğunu test etmek için $x = 1$ değerini kullanabilirsin. $f(1) = 2$ ve $g(1) = 1$ olduğuna göre, bu aralıkta doğru üsttedir.

Çözümü Gör

A = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx

A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}

A = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0 - 0)

A = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}

Cevap: $\boxed{\frac{4}{3} \text{ birim kare}}$

Grafik "Üstte" Kaldığında Formül Değişir mi?

Hayır, formül aynı kalır: Üstteki eğri - Alttaki eğri. Ancak integralin sınırları değişir. Eğer iki eğri birden fazla noktada kesişiyorsa, her bir kesişim aralığında hangi fonksiyonun üstte olduğunu ayrı ayrı kontrol etmen gerekir.

Örneğin $f(x) = x$ ve $g(x) = x^2$ eğrileri arasındaki toplam alanı $x = 0$ ile $x = 2$ arasında hesaplamak isteseydik, alanı iki parçaya ayırmamız gerekirdi:

A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x)\,dx

Uyarı

Dikkat En yaygın hata, hangi fonksiyonun üstte olduğunu kontrol etmeden formülü uygulamaktır. Eğer alttaki fonksiyonu üstteki fonksiyondan çıkarmazsan, negatif bir sonuç elde edersin. Alan her zaman pozitif olmalıdır. Negatif sonuç aldıysan, büyük ihtimalle fonksiyonların sırasını ters çevirmişsindir.

Farklı Bir Bakış: y Eksenine Göre

Şimdiye kadar alanı $x$ eksenine göre hesapladık. Ancak bazı problemlerde $y$ eksenine göre integral almak daha kolay olabilir. Bu durumda fonksiyonları $x$ cinsinden yazmak yerine, $y$ cinsinden yazman ve "sağdaki eğri - soldaki eğri" formülünü kullanman gerekir.

Örneğin $x = y^2$ parabolü ile $x = y$ doğrusu arasındaki alanı hesaplamak istersen, $y$ eksenine göre integral alırsın. Bu yaklaşım, özellikle fonksiyonların $x$ cinsinden çözümü zor olduğunda işini kolaylaştırır. Bu konuya ilerleyen derslerde daha detaylı değineceğiz.

Özet: Doğru ve Parabol Arasında Alan Hesaplama Adımları

Kesişim noktalarını bul: İki fonksiyonu eşitle ve çöz.
Hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirle: Kesişim noktaları arasından bir test değeri seç ve iki fonksiyonda da yerine koy.
İntegrali kur: Üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkar.
İntegrali hesapla: Belirli integrali çöz ve sonucu pozitif olarak al.

İpucu

Pratik İpucu Grafiği çizmeden de hangi fonksiyonun üstte olduğunu bulabilirsin. Test noktası seçmek, grafik çizmekten çok daha hızlıdır. Ancak birden fazla kesişim noktası varsa, her aralık için ayrı test yapmayı unutma.

İki eğri arasındaki alan formülü her zaman 'üstteki eğri - alttaki eğri' şeklindedir. Doğru. Formül ∫(üst - alt)dx şeklindedir ve bu fark her zaman pozitif alan verir.
f(x) = x² ve g(x) = 2x eğrileri arasındaki alanı hesaplarken, 0 < x < 2 aralığında hangi fonksiyon üsttedir? x = 1 test noktasında g(1) = 2 > f(1) = 1 olduğundan, doğru (g(x)) üsttedir.
İki eğri arasındaki alanı hesaplarken, kesişim noktaları integralin ___ belirler. Kesişim noktaları, integralin alt ve üst sınırlarını, yani alanın başladığı ve bittiği x değerlerini belirler.

Kesişen Eğriler

Tek bir eğrinin altındaki alanı hesaplarken işler basitti: $\int_a^b f(x)\,dx$ ifadesi, $x$ ekseni ile $f(x)$ arasında kalan net alanı veriyordu. İki eğri arasındaki alanda ise "üstteki eğri" ile "alttaki eğri" arasındaki farkı alıyoruz. Peki ya iki eğri birbirini geçiyorsa? Ya da daha doğrusu, hangisinin üstte olduğu aralığa göre değişiyorsa?

Bu, iki eğri arasındaki alan problemlerinin en kritik noktasıdır. Kesişim noktaları sadece integralin sınırlarını belirlemez; aynı zamanda hangi fonksiyonun üstte olduğunu da yeniden tanımlar.

Yukarıdaki şekilde $f(x) = x^2$ parabolü ve $g(x) = x + 2$ doğrusu verilmiş. Kesişim noktalarını bulmak için iki fonksiyonu eşitleriz:

x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0

Kökler $x = -1$ ve $x = 2$ çıkar. Şimdi kritik soru şu: -1 < x < 2 aralığında hangisi üstte?

$x = 0$ test noktasını seçelim. $f(0) = 0^2 = 0$ ve $g(0) = 0 + 2 = 2$ . Yani bu aralıkta $g(x)$ üstte, $f(x)$ altta. Formülü uygularken üsttekinden alttakini çıkarmalıyız:

\text{Alan} = \int_{-1}^{2} \big( (x + 2) - x^2 \big)\,dx

Bu ifadeyi açalım:

$\text{Alan} = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2)\,dx$ …

y Eksenine Göre Bakış

Şimdiye kadar tüm alan hesaplarında $x$ ekseni boyunca, yani soldan sağa doğru integraller aldık. Peki ya eğriler, $x$ 'in bir fonksiyonu olarak ifade edilemiyorsa? Örneğin, $x = y^2$ parabolünü düşün. Bu eğri, $x$ 'i $y$ cinsinden verir. Bu durumda alanı bulmak için bakış açımızı 90 derece çevirmemiz gerekir: $y$ eksenine göre integral alırız.

Mantık aynıdır, sadece roller değişir. $x$ eksenine göre alanda üstteki eğriden alttaki eğriyi çıkarıyorduk. $y$ eksenine göre alanda ise sağdaki eğriden soldaki eğriyi çıkarırız. Formül şu hali alır:

\text{Alan} = \int_{c}^{d} \left( x_{\text{sağ}} - x_{\text{sol}} \right) \, dy

Burada $c$ ve $d$ , eğrilerin kesişim noktalarının $y$ koordinatlarıdır (veya verilen $y$ sınırlarıdır). Sınırları bulmak için yine kesişim noktalarını buluruz, ancak bu sefer denklemleri $x$ 'e göre değil, $y$ 'ye göre çözeriz.

Bu yaklaşımın gücünü bir örnekle görelim. $x = y^2$ parabolü ile $x = y + 2$ doğrusu arasında kalan alanı hesaplayalım.

Önce kesişim noktalarını bulalım. İki denklemi eşitleyelim:

y^2 = y + 2 \implies y^2 - y - 2 = 0 \implies (y-2)(y+1) = 0

Buradan $y = -1$ ve $y = 2$ bulunur. Yani integral sınırlarımız $c = -1$ ve $d = 2$ olacak.

Şimdi hangi eğrinin sağda olduğunu belirlemeliyiz. $y$ değerlerini deneyerek kontrol edebiliriz. Örneğin $y=0$ için:

$x_{\text{parabol}} = 0^2 = 0$
$x_{\text{doğru}} = 0 + 2 = 2$

$y=0$ için doğru ( $x=2$ ), parabolden ( $x=0$ ) daha sağda. Bu aralıkta doğru sağda, parabol solda kalır. O halde integralimiz:

\text{Alan} = \int_{-1}^{2} \left( (y+2) - y^2 \right) \, dy

y Eksenine Göre Alan Hesabı

\text{Alan} = \int_{-1}^{2} (y+2 - y^2) \, dy

İntegrali, sağdaki eğri ( $y+2$ ) ile soldaki eğri ( $y^2$ ) arasındaki farkı alarak kurduk.

= \left[ \frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{2}

Polinomun integralini, ters türevini alarak hesapladık.

= \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)

Üst sınır (2) ve alt sınır (-1) için ters türevi hesapladık.

= (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})

Kesirleri sadeleştirdik.

= (6 - \frac{8}{3}) - (-\frac{3}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})

Parantez içlerini sadeleştirdik.

= \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

Ortak paydada topladık ve sonucu bulduk. \text{Alan} = \frac{9}{2} \text{ birim kare}

İpucu

Hangi eğrinin sağda olduğuna karar verirken, integral aralığındaki herhangi bir $y$ değerini (örneğin orta noktayı) seçip iki fonksiyonda da yerine koymak en hızlı yoldur. Büyük $x$ değerini veren fonksiyon sağdadır.

Uyarı

Yaygın Hata: $x$ eksenine göre alışkın olduğunuz "üstteki - alttaki" kuralını aynen uygulamak. $y$ eksenine göre çözerken mutlaka "sağdaki - soldaki" kuralını kullanmalısınız. Aksi takdirde sonuç negatif çıkar veya yanlış bölge hesaplanır.

Bu yöntem, özellikle aynı $x$ değerine karşılık birden fazla $y$ değeri olan eğrilerde (örneğin yatay paraboller) hayat kurtarıcıdır. $x$ 'e göre çözmeye çalışmak, fonksiyonu parçalara ayırmayı gerektirirken, $y$ 'ye göre çözmek işlemi tek bir integrale indirger.

Sıra Sende: $x = y^2$ eğrisi ile $x = 4$ doğrusu arasında kalan bölgenin alanını hesapla. (İpucu: Sınırlar $y = -2$ ve $y = 2$ olacak.)

Çözüm

\text{Alan} = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy = \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}

Cevap: $\boxed{\frac{32}{3}}$ birim kare.

y eksenine göre alan hesabında hangi kural kullanılır? y eksenine göre integral alırken, yatay şeritlerin genişliğini bulmak için sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılır.
x = y^2 ve x = y + 2 eğrileri arasındaki alanı bulurken integral sınırları y = -1 ve y = 2'dir. Kesişim noktalarını bulmak için denklemleri eşitlediğimizde y^2 = y + 2 denklemi çözülür ve y = -1 ile y = 2 kökleri elde edilir.
y eksenine göre alan formülü ∫(x_sağ - x_sol)dy olduğuna göre, x = y^2 ve x = 4 arasındaki alanı bulmak için integral sınırları y = -2 ve y = ___ olmalıdır. x = y^2 ile x = 4'ü eşitlediğimizde y^2 = 4 denklemi y = -2 ve y = 2 köklerini verir.

Üstte Kim Var?

Neden "Üstteki Eğri - Alttaki Eğri"?

Kesişim Noktalarını Bulmak: Sınırları Belirleme

Adım Adım Tam Çözüm

Parabol ve Doğru Arasındaki Alan

Peki Ya Eğriler yyy Eksenine Göre İç İçeyse?

Sıra Sende

Sınırları Belirleme

Doğru ve Parabol Arasında

Grafik Üzerinde "Üstte" Olmak Ne Demek?

Pratik Kural: Test Noktası Seç

Tam Çözüm: Doğru ve Parabol Arasındaki Alan

Doğru ve Parabol Arasındaki Alan

Sıra Sende: Benzer Bir Problem

Grafik "Üstte" Kaldığında Formül Değişir mi?

Farklı Bir Bakış: y Eksenine Göre

Özet: Doğru ve Parabol Arasında Alan Hesaplama Adımları

Kesişen Eğriler

y Eksenine Göre Bakış

y Eksenine Göre Alan Hesabı

Peki Ya Eğriler $y$ Eksenine Göre İç İçeyse?