Çemberin Analitik İncelenmesi - AYT Matematik

Sabit Uzaklıkta Bir Dans: Çemberin Doğuşu

Bir uydu, dünyanın etrafında sabit bir yükseklikte dönerken, dünyanın merkezine olan uzaklığı asla değişmez. İşte çemberin analitik olarak tanımlanmasının özü tam olarak budur: sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıkta duran tüm noktaların oluşturduğu küme. Peki bu tanımı, koordinat düzleminde bir denkleme nasıl dönüştürürüz?

Çemberin Analitik Denklemi: Merkez ve Yarıçap Merkez M(a, b) ve çember üzerindeki P(x, y) arasındaki Pisagor bağıntısı üzerinden standart denklemi kurar.

Uzaklık Formülünün Gücü

Önceki derste öğrendiğin noktanın doğruya uzaklığı formülünü bir kenara bırak. Burada iki nokta arasındaki uzaklığa ihtiyacın var: $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ arasındaki uzaklık, Pisagor Teoremi'nden gelir:

\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Şimdi bu formülü çemberin tanımına uyarlayalım. Merkezi $M(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çember düşün. Çember üzerindeki herhangi bir nokta $P(x, y)$ olsun. Bu noktanın merkeze uzaklığı her zaman $r$ 'ye eşittir. Bu cümleyi matematiksel olarak yazarsak:

\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r

Her iki tarafın karesini alarak kökten kurtulduğumuzda, çemberin standart denklemini elde ederiz:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Bu denklem, bir çemberin kimlik kartıdır. Merkez ve yarıçap, çemberin tüm özelliklerini belirler.

Denklemi Okumak

Elinin altında bir denklem varsa, ondan çemberin merkezini ve yarıçapını söküp alabilirsin. Örneğin:

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

Burada $x - 3$ ifadesi $x - a$ ile eşleşir, yani $a = 3$ . $y + 2$ ifadesi ise $y - b$ ile eşleşir, buradan $y - (-2)$ olduğu için $b = -2$ çıkar. $16 = r^2$ olduğundan $r = 4$ bulunur. Yani çemberin merkezi $M(3, -2)$ ve yarıçapı $4$ birimdir.

Uyarı

Dikkat En sık yapılan hata, $(y + 2)^2$ ifadesinde merkezin $y$ koordinatını $+2$ sanmaktır. Denklem $(y - b)^2$ formundadır. $y + 2$ demek, $y - (-2)$ demektir. Yani merkezin $y$ koordinatı $-2$ 'dir. İşaretleri ters çevirmeyi unutma!

Genel Denklem: Açılmış Hali

Standart denklemi açtığımızda, çemberin genel denklemi dediğimiz formu elde ederiz. $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ifadesini açalım:

x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2

Düzenleyince:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Burada $D = -2a$ , $E = -2b$ ve $F = a^2 + b^2 - r^2$ şeklindedir. Genel denklemden merkezi bulmak için katsayıları kullanırız:

a = -\frac{D}{2}, \quad b = -\frac{E}{2}

Ve yarıçapı bulmak için:

r = \sqrt{a^2 + b^2 - F}

Çemberin Standart ve Genel Denklemi

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \quad \text{ve} \quad x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

$(a, b)$ : Merkez koordinatları
$r$ : Yarıçap (birim)
$D, E, F$ : Genel denklem katsayıları

Genel Denklemden Merkez ve Yarıçap Bulma

x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0

Verilen genel denklemi yazalım. Burada D = -6, E = 4, F = -12.

a = -\frac{D}{2} = -\frac{-6}{2} = 3

Merkezin x koordinatını bulmak için D katsayısını -2'ye böleriz.

b = -\frac{E}{2} = -\frac{4}{2} = -2

Merkezin y koordinatını bulmak için E katsayısını -2'ye böleriz.

r = \sqrt{a^2 + b^2 - F} = \sqrt{9 + 4 - (-12)} = \sqrt{25} = 5

Yarıçapı bulmak için merkez koordinatlarının kareleri toplamından F'yi çıkarırız. Merkez M(3, -2), yarıçap r = 5 birim.

Eksenlere Teğet Çemberler

Bir çember eksenlere teğetse, merkezinin koordinatları ile yarıçapı arasında özel bir ilişki vardır. Eğer çember $x$ -eksenine teğetse, merkezin $y$ koordinatının mutlak değeri yarıçapa eşittir: $r = |b|$ . Benzer şekilde, $y$ -eksenine teğetse $r = |a|$ olur.

Her iki eksene de teğet bir çember düşün. Bu durumda merkez, eksenlerden eşit uzaklıkta olmalıdır, yani $|a| = |b| = r$ olur. Merkez birinci bölgedeyse $M(r, r)$ şeklindedir ve denklemi:

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2

Bu denklem, koordinat eksenlerine ve orijine yakın duran çemberlerin hızlıca modellenmesini sağlar.

İpucu

Pratik İpucu Bir çemberin $x$ -eksenine teğet olduğunu söylüyorsa, denklemde $y$ ile ilgili terimin $(y \pm r)^2$ şeklinde olması beklenir. Bu, soruyu çözerken hızlı bir kontrol sağlar.

Farklı Durumları Karşılaştır

Durum	Merkez	Yarıçap	Denklem Örneği
Orijin merkezli	$(0, 0)$	$r$	$x^2 + y^2 = 25$
$x$ -eksenine teğet	$(a, r)$ veya $(a, -r)$	$r$	$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$
$y$ -eksenine teğet	$(r, b)$ veya $(-r, b)$	$r$	$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$
Her iki eksene teğet	$(\pm r, \pm r)$	$r$	$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$

Bu tablo, bir çemberin denklemini verilen geometrik özelliklerden hızlıca kurmanı sağlar. Hangi eksene teğet olduğunu bilmek, merkezin hangi koordinatının yarıçapla eşleştiğini söyler.

Şimdi bu bilgiyi kullanarak bir problemi çözelim: Merkezi $M(2, -3)$ olan ve $x$ -eksenine teğet olan çemberin denklemini yazalım. $x$ -eksenine teğetlik, $r = |b| = |-3| = 3$ demektir. Standart denklemde yerine koyarsak:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9

Bu çember, $x$ -eksenine $(2, 0)$ noktasında dokunur ve tamamen $x$ -ekseninin altında kalır. Geometrik sezgi ile cebirsel sonucun nasıl örtüştüğüne dikkat et.

(x + 4)² + (y - 1)² = 25 çemberinin merkezi ve yarıçapı nedir? Standart formda (x - a)² + (y - b)² = r² olduğundan, x + 4 = x - (-4) demektir, yani a = -4. Yarıçap r = √25 = 5'tir.
Bir çember y-eksenine teğetse, merkezin x koordinatının mutlak değeri yarıçapa eşittir. y-eksenine teğetlik, merkezin y-eksenine olan uzaklığının yarıçapa eşit olması demektir. Bu uzaklık |a| ile verilir.
x² + y² + 8x - 6y = 0 genel denkleminin merkezinin x koordinatı kaçtır? Merkezin x koordinatı a = -D/2 formülüyle bulunur. D = 8 olduğundan a = -8/2 = -4'tür.

Pisagor'dan Standart Denkleme

Bir önceki derste çemberi, sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesi olarak tanımlamıştık. Şimdi bu geometrik tanımı, koordinat düzleminde işlem yapabileceğimiz cebirsel bir denkleme dönüştüreceğiz. Bu dönüşümün anahtarı, liseden bildiğin Pisagor teoremi.

Uzaklık Formülüyle Başlayalım

Analitik düzlemde bir noktanın konumu $(x, y)$ koordinatlarıyla belirlenir. Merkezi $M(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çember düşünelim. Çemberin üzerindeki herhangi bir nokta $P(x, y)$ olsun. Çemberin tanımı gereği, $P$ noktasının merkeze uzaklığı her zaman $r$ 'ye eşittir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü hatırlayalım: $M(a, b)$ ve $P(x, y)$ noktaları arasındaki uzaklık

|MP| = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}

Bu uzaklık, çemberin yarıçapına eşittir. Yani $|MP| = r$ . Bu eşitliği yerine koyduğumuzda:

\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r

Her iki tarafın karesini aldığımızda, çemberin standart denklemini elde ederiz:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Bu formül, çemberin kalbidir. Merkez koordinatları ve yarıçap verildiğinde denklemi yazmak, ya da denklem verildiğinde merkezi ve yarıçapı bulmak için kullanılır. Formülün yapısına dikkat et: $x$ ve $y$ 'nin yanında çıkarma işareti var. Bu, merkez koordinatlarının işaretleriyle doğrudan ilişkilidir.…

Genel Çember Denklemine Dönüşüm

Genel çember denklemi, standart formun açılımıyla ortaya çıkar. Merkezi $M(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin standart denklemi $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ idi. Parantezleri açıp düzenlediğimizde, çemberin genel denklemi olarak bilinen $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ formuna ulaşırız.…

Eksenlere Teğet Çemberlerin Sırrı

Eksenlere teğet bir çember düşün. Bir bilardo topu masanın iki kenarına aynı anda değiyor. Topun merkezi, kenarlara olan uzaklığı eşit olduğu için, açıortay doğrusu üzerinde duruyor. Bu geometrik sezgi, analitik düzlemde çember denklemini kurmanın en pratik yoludur.

Eksenlere Teğet Olmanın Anlamı

Bir çemberin bir eksene teğet olması, onunla yalnızca tek bir noktada kesişmesi demektir. Bu, merkezden eksene çizilen dikmenin uzunluğunun yarıçapa eşit olması anlamına gelir.

Bu ilişkiyi üç durumda inceleyelim:

1. x-Eksenine Teğet Çemberler

Merkezi $M(a, b)$ olan bir çember x-eksenine teğetse, merkezin x-eksenine uzaklığı $|b|$ kadar olur. Teğetlik şartı gereği bu uzaklık yarıçapa eşittir: $r = |b|$ .

Standart denklem $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ olduğundan, $r = |b|$ yazarsak:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = b^2

Dikkat: $b$ negatif olsa bile, karesi alındığı için denklemde $b^2$ olarak yer alır.

2. y-Eksenine Teğet Çemberler

Benzer şekilde, merkezi $M(a, b)$ olan bir çember y-eksenine teğetse, merkezin y-eksenine uzaklığı $|a|$ olur ve bu da yarıçapa eşittir: $r = |a|$ .

Denklem:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2

3. Her İki Eksene Teğet Çemberler

Bir çember hem x-eksenine hem de y-eksenine teğetse, merkezin her iki eksene olan uzaklığı eşit ve yarıçapa eşittir. Bu durumda $|a| = |b| = r$ olur.

Eksenlere Teğet Çemberin Standart Denklemi

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

$M(a,b)$ : Merkez noktası
$r$ : Yarıçap
$|a|, |b|$ : Merkezin eksenlere uzaklığı

Genel Denklemle Bağlantı

Daha önce gördüğümüz genel denklem $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ile bu teğetlik durumlarını ilişkilendirelim. Standart denklemi açtığımızda:

x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2

Buradan $D = -2a$ ve $E = -2b$ olduğunu görürüz. Eğer çember x-eksenine teğetse $r = |b|$ olduğundan:

F = a^2 + b^2 - r^2 = a^2 + b^2 - b^2 = a^2

Yani x-eksenine teğet bir çemberin genel denkleminde $F = a^2$ olur. Bu, denklemi verilen bir çemberin eksenlere teğet olup olmadığını hızlıca kontrol etmenin bir yoludur.

Tam Çözümlü Örnek

Şimdi bu bilgiyi kullanarak bir problemi çözelim.

Eksenlere Teğet Çemberin Denklemini Bulma

\text{Verilenler: } M(3, -4), \text{ x-eksenine teğet}

Merkez noktası ve teğetlik durumu verilmiş. x-eksenine teğet olduğu için yarıçap, merkezin x-eksenine uzaklığına eşittir.

r = |-4| = 4

Merkezin x-eksenine uzaklığı, y koordinatının mutlak değeridir. Bu uzaklık yarıçapa eşittir.

(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 4^2

Standart denklemde merkez koordinatları ve yarıçap yerine yazılır.

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16

Denklem sadeleştirilir. Bu, çemberin standart formudur. (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16

Bu örnekte dikkat edilmesi gereken nokta, merkezin y koordinatının negatif olmasına rağmen yarıçapın pozitif olmasıdır. Yarıçap bir uzunluk olduğu için daima pozitiftir; bu yüzden mutlak değer kullanırız.

Örnek: Her İki Eksene Teğet

Merkezi birinci bölgede olan ve her iki eksene teğet olan bir çemberin yarıçapı 5 birim olsun. Bu durumda merkez koordinatları $M(5, 5)$ olur çünkü her iki eksene de 5 birim uzaklıkta olmalıdır.

Denklemi:

(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25

[!TIP] Pratik ipucu: Bir çember her iki eksene de teğetse, merkezin koordinatları ya $(r, r)$ , $(r, -r)$ , $(-r, r)$ ya da $(-r, -r)$ olur. Hangi bölgede olduğuna göre işaretler değişir. Bu, sorularda denklemi hızlıca kurmanı sağlar.

Genel Formdan Teğetliği Anlama

Genel denklemi verilen bir çemberin eksenlere teğet olup olmadığını anlamak için merkez koordinatlarını bulup yarıçapla karşılaştırırız.

Örneğin, $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ denklemini ele alalım. Kareye tamamlama yöntemiyle:

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16

Buradan merkez $M(3, -4)$ ve yarıçap $r = 4$ bulunur. Merkezin x-eksenine uzaklığı $|-4| = 4$ olduğundan, çember x-eksenine teğettir. Ancak y-eksenine uzaklığı $|3| = 3$ olduğundan, y-eksenine teğet değildir.

[!WARNING] Sık yapılan hata: Merkez koordinatlarını bulurken işaretleri karıştırmak. Genel denklemde $D = -2a$ olduğundan, $a = -\frac{D}{2}$ olur. Yani $x^2 + y^2 - 6x$ ifadesinde $D = -6$ ise $a = 3$ olur, $-3$ değil. İşaret hatası, çemberin yanlış bölgede çizilmesine neden olur.

Gerçek Hayattan Bir Uygulama

Bir mühendis, dairesel bir su deposunun tabanını koordinat düzlemine yerleştiriyor. Deponun tabanı, dikey bir duvara ve zemine aynı anda teğet olacak şekilde tasarlanıyor. Duvarı y-ekseni, zemini x-ekseni olarak düşünelim. Deponun yarıçapı 2 metre ise, merkezi $M(2, 2)$ noktasında olur.

Deponun tabanının denklemi:

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4

Bu denklem, deponun duvara ve zemine tam olarak değdiği noktaları ve tüm taban çevresini tanımlar. Mühendis, bu denklemi kullanarak deponun tabanının herhangi bir noktasının duvara veya zemine olan uzaklığını hesaplayabilir.

Özet

Eksenlere teğet çemberlerin denklemini kurarken üç temel kuralı hatırla:

x-eksenine teğet ise: $r = |b|$ ve denklem $(x - a)^2 + (y - b)^2 = b^2$
y-eksenine teğet ise: $r = |a|$ ve denklem $(x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2$
Her iki eksene teğet ise: $r = |a| = |b|$

Bu kurallar, merkez ve yarıçap arasındaki ilişkiyi doğrudan denkleme yansıtır. Verilen geometrik koşullardan çemberin denklemine geçiş, bu ilişkileri doğru kurmaktan geçer.

Etkileşimli

3D Konik Kesitleri ve Çift Koni Simülatörü

x-eksenine teğet bir çemberin merkezinin y koordinatı ile yarıçapı her zaman eşittir. Merkezin x-eksenine uzaklığı |b| olduğundan ve teğetlik için bu uzaklık yarıçapa eşit olduğundan r = |b| olur.
Merkezi M(-3, 5) olan ve y-eksenine teğet olan çemberin yarıçapı kaçtır? y-eksenine teğetlik için yarıçap, merkezin y-eksenine uzaklığı olan |a| = |-3| = 3 birimdir.
Her iki eksene teğet ve merkezi ikinci bölgede olan bir çemberin yarıçapı 4 ise merkezinin koordinatları ___. İkinci bölgede x negatif, y pozitiftir. Her iki eksene teğet olduğundan |a| = |b| = r = 4 olur, bu yüzden merkez (-4, 4) noktasıdır.

Analitik Düzlemde İleri Adım

Önceki derste, eksenlere teğet çemberlerin merkezinin açıortay doğrusu üzerinde olduğunu görmüştük. Şimdi bu bilgiyi tersine çevirip, elindeki herhangi bir çember denkleminden merkezi ve yarıçapı güvenle çıkarabilecek misin? İşte analitik geometrideki asıl hüner burada başlıyor.

Standart Formdan Doğrudan Okuma

Elinizde standart formda bir denklem varsa, işiniz çok kolay. Denklem $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ şeklindeyse, merkez doğrudan $M(a, b)$ ve yarıçap da $r$ 'dir. Örneğin, $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ denkleminde merkez $M(3, -2)$ ve yarıçap $\sqrt{16} = 4$ 'tür. Dikkat et: $y + 2$ ifadesi aslında $y - (-2)$ demektir, bu yüzden merkezin $y$ koordinatı $-2$ 'dir. Bu, en sık yapılan hatalardan biridir.

Uyarı

Dikkat $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ formunda, parantez içindeki işaretler merkezin koordinatlarının tersidir. $x + 5$ görürsen merkezin $x$ koordinatı $-5$ 'tir, $+5$ değil. $y - 7$ görürsen merkezin $y$ koordinatı $+7$ 'dir.

Genel Formdan Merkez ve Yarıçapı Çıkarma

Peki ya denklem genel formda verilmişse? Yani $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ şeklindeyse? Burada yapman gereken, denklemi kareye tamamlama yöntemiyle standart forma dönüştürmek. Bu, cebirsel bir dans gibidir: $x$ 'li terimleri ve $y$ 'li terimleri ayrı ayrı gruplayıp, her birini tam kare haline getirirsin.

Örneğin, $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ denklemini ele alalım. Önce $x$ ve $y$ terimlerini ayıralım:

(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3

Şimdi $x$ 'li grubu tam kare yapmak için, $x$ 'in katsayısının yarısının karesini ekleyip çıkarırız: $(-4/2)^2 = 4$ . Aynı şekilde $y$ 'li grup için: $(6/2)^2 = 9$ . Bu değerleri denkleme ekleyelim:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9

Bu işlem, denklemin dengesini bozmaz çünkü eklediğimiz değerleri aynı anda diğer tarafa da ekliyoruz. Artık grupları tam kare olarak yazabiliriz:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16

Buradan merkez $M(2, -3)$ ve yarıçap $r = 4$ olarak okunur.

İpucu

Pratik Yol Kareye tamamlama her zaman işe yarar, ancak genel formdaki $D$ ve $E$ katsayılarından merkezi doğrudan bulmak da mümkündür: Merkez $M\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ ve yarıçap $r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$ formülüyle hesaplanır. Bu, sınavda zaman kazandıran bir kestirme yoldur.

Karmaşık Bir Durumu Çözelim

Şimdi bu iki yöntemi bir arada kullanacağımız bir problem çözelim. Bir çemberin denklemi $2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 6 = 0$ olarak verilsin. Bu denklem, $x^2$ ve $y^2$ 'nin katsayıları 1 olmadığı için, genel formdan biraz farklıdır. İlk adım, denklemi 2'ye bölerek katsayıları 1 yapmaktır:

x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0

Artık bu, az önce çözdüğümüz denklemin aynısı! Yani merkez $M(2, -3)$ ve yarıçap $r = 4$ 'tür.

Genel Formdan Merkez ve Yarıçapı Bulma

2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 6 = 0

Verilen genel denklem. x² ve y²'nin katsayıları eşit ve 1 değil.

x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0

Denklemi 2'ye bölerek x² ve y²'nin katsayısını 1 yap. Bu, genel forma ulaşmak için şart.

(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3

x'li ve y'li terimleri grupla, sabit sayıyı (F) diğer tarafa at.

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9

Kareye tamamlamak için x'in katsayısının yarısının karesini ((-4/2)²=4) ve y'nin katsayısının yarısının karesini ((6/2)²=9) ekle. Dengeyi korumak için aynı sayıları sağ tarafa da ekle.

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16

Grupları tam kare olarak yaz. Artık denklem standart formda.

M(2, -3), r = 4

Standart formdan merkez ve yarıçapı doğrudan oku. Merkez M(2, -3), yarıçap r = 4

Eksenlere Teğetlik ile Birleştirme

Bu sentez, en değerli kısımdır. Bir çemberin denklemi verildiğinde, onun eksenlere teğet olup olmadığını nasıl anlarız? Merkezin koordinatları ile yarıçap arasındaki ilişkiye bakarız. Eğer çember $x$ -eksenine teğetse, merkezin $y$ koordinatının mutlak değeri yarıçapa eşittir ( $|b| = r$ ). Benzer şekilde, $y$ -eksenine teğetse, merkezin $x$ koordinatının mutlak değeri yarıçapa eşittir ( $|a| = r$ ).

Örneğin, $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$ denklemini ele alalım. Merkez $M(3, 4)$ ve yarıçap $r = 4$ 'tür. Merkezin $y$ koordinatı $4$ ve yarıçap da $4$ olduğu için $|4| = 4$ eşitliği sağlanır. Bu, çemberin $x$ -eksenine teğet olduğu anlamına gelir. Aynı zamanda merkezin $x$ koordinatı $3$ , yarıçap $4$ 'ten farklı olduğu için $y$ -eksenine teğet değildir.

Not

Geometrik Yorum Bu ilişkiyi görselleştirmek için, merkezden eksenlere dikmeler indirdiğini düşün. Çember eksene teğetse, bu dikmenin uzunluğu (merkezin eksene olan uzaklığı) tam olarak yarıçapa eşittir. Merkez, çemberin sınırından eksene olan mesafeyi belirler.

Sentez: Tüm Becerileri Birleştirme

Şimdi tüm bu bilgileri tek bir problemde birleştirelim. Bir çemberin genel denklemi $x^2 + y^2 - 10x + 2y + 17 = 0$ olsun. Bu çemberin eksenlere göre konumu nedir?

1. Adım: Merkezi ve yarıçapı bul. Kareye tamamlama veya pratik formülü kullanarak merkez $M(5, -1)$ ve yarıçap $r = 3$ bulunur. ( $D = -10$ , $E = 2$ , $F = 17$ ; merkez $M(5, -1)$ ; $r = \sqrt{25 + 1 - 17} = \sqrt{9} = 3$ )

2. Adım: Teğetlik koşullarını kontrol et. $x$ -eksenine teğetlik için $|b| = |-1| = 1$ olmalı, ancak $r = 3$ . Eşitlik sağlanmıyor, bu yüzden $x$ -eksenine teğet değil. $y$ -eksenine teğetlik için $|a| = |5| = 5$ olmalı, ancak $r = 3$ . Eşitlik sağlanmıyor, bu yüzden $y$ -eksenine teğet değil.

3. Adım: Konumu yorumla. Merkez $M(5, -1)$ ve yarıçap $3$ olan bu çember, her iki eksenden de belirli bir uzaklıkta duruyor. Eksenlerden herhangi birini kesmiyor ve onlara teğet değil. Çember tamamen birinci ve dördüncü bölgelerde yer alıyor.

Bu yaklaşım, analitik geometrideki en güçlü araçlardan birini oluşturur: verilen herhangi bir çember denklemini, geometrik özelliklerini (merkez, yarıçap, eksenlere göre konum) çıkarmak için kullanabilirsin. Bu, sadece denklem çözmek değil, cebir ile geometri arasında bir köprü kurmaktır.

(x + 4)² + (y - 1)² = 25 çemberinin merkezi ve yarıçapı nedir? Standart formda (x-a)² + (y-b)² = r², merkez M(a,b)'dir. x+4, x-(-4) olduğundan a=-4'tür. r²=25 olduğundan r=5'tir.
Bir çemberin genel denkleminde x² ve y²'nin katsayıları farklıysa, bu yine de bir çember denklemidir. Bir çember denkleminde x² ve y²'nin katsayıları her zaman eşit olmalıdır. Farklıysa, bu bir elips veya başka bir konik denklemidir, çember değil.
x² + y² - 6x + 8y = 0 çemberinin yarıçapı kaç birimdir? Kareye tamamlama ile (x-3)² + (y+4)² = 25 elde edilir. r² = 25 olduğundan yarıçap 5 birimdir.