İki Kat Açı Formülleri

Açıyı İkiye Katlamak

Bir an için şunu düşün: $\sin(60^\circ)$ 'ı biliyorsun, peki $\sin(120^\circ)$ 'ı nasıl bulursun? Toplam formülünde iki açıyı eşit alırsan ne olur? İşte bu dersin cevaplayacağı soru bu.

Trigonometride İki Kat Açı Formülleri cos(2a) nın 3 farklı açılımını ve ÖSYM nin +1/-1 yok etme sadeleştirme taktiklerini netleştirir.

Bu dersin sonunda şunları yapabileceksin: İki kat açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirir veya değerlerini hesaplar. Bu, AYT'de trigonometrik denklemleri çözerken ve karmaşık ifadeleri sadeleştirirken işini inanılmaz kolaylaştıracak.

Toplamdan İki Kata Geçiş

Toplam formüllerini hatırla: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Peki ya $A = B$ olursa? Yani $\sin(2A)$ 'yı arıyorsak, formülde $B$ yerine $A$ yazarız:

\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2 \sin A \cos A

Bu kadar basit! Aynı mantığı kosinüs toplam formülüne uygulayalım:

\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

$B = A$ koyarsak:

\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A

Bu, kosinüsün iki kat açı formülünün birinci hali. Ama burada durma, çünkü $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ özdeşliğini kullanarak iki farklı form daha elde edebilirsin.

Kosinüsün Üç Yüzü

$\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$ formülünden başlayarak:

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ yerine koyarsak: $\cos(2A) = \cos^2 A - (1 - \cos^2 A) = 2\cos^2 A - 1$
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ yerine koyarsak: $\cos(2A) = (1 - \sin^2 A) - \sin^2 A = 1 - 2\sin^2 A$

Neden üç farklı form? Çünkü problemde hangi bilgi verilmişse ona göre en uygun formu seçersin. $\sin A$ verilmişse $1 - 2\sin^2 A$ kullanmak işini kolaylaştırır, $\cos A$ verilmişse $2\cos^2 A - 1$ daha pratiktir.

Tanjantın İki Katı

Tanjant toplam formülü: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

Yine $B = A$ koyarsak:

\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

Burada dikkat: $\tan(2A)$ 'nın tanımlı olması için paydanın sıfır olmaması gerekir, yani $\tan A \neq \pm 1$ olmalı. Ayrıca $\cos(2A) \neq 0$ şartı da var.

Adım Adım Çözüm

Şimdi bu formülleri somut bir problemde kullanalım.

sin(75°)cos(75°) Değerini Hesaplama

Verilen ifade

\sin(75^\circ)\cos(75^\circ)

Bu ifade sinüs iki kat açı formülünün yarısına benziyor. 2 ile çarp ve böl

\frac{2\sin(75^\circ)\cos(75^\circ)}{2}

İfadeyi 2 ile çarpıp bölmek değerini değiştirmez, sadece formüle uygun hale getirir. İki kat açı formülünü uygula

\frac{\sin(2 \times 75^\circ)}{2} = \frac{\sin(150^\circ)}{2}

Paydaki ifade sin(2A) formülüyle birebir aynı, A = 75°. sin(150°) değerini yaz

\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}

150°'nin sinüsü, 30°'nin sinüsüne eşittir (II. bölgede sinüs pozitif). Sonucu bul

\frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}

Paydaki 1/2 değerini 2'ye bölüyoruz. \sin(75^\circ)\cos(75^\circ) = \frac{1}{4}

Formül Özeti

\sin(2A) = 2\sin A\cos A, \quad \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A, \quad \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

$A$ : Herhangi bir açı (radyan veya derece) (derece veya radyan)

Uyarı

Sık Yapılan Hata $\sin(2A) = 2\sin A$ sanmak büyük bir hatadır. $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ iken, $2\sin(30^\circ) = 2 \times 0.5 = 1$ 'dir. İki değer eşit değil! Sinüs doğrusal bir işlem değildir, bu yüzden formülü aynen uygulamak zorundasın.

İpucu

Pratik İpucu Bir ifadede $\sin A \cos A$ görürsen, aklına hemen $\frac{\sin(2A)}{2}$ gelsin. Bu dönüşüm, sadeleştirme sorularında sık sık işine yarar.

Sıra Sende

Şimdi aynı tekniği sen dene: $\cos^2(15^\circ) - \sin^2(15^\circ)$ ifadesinin değerini hesapla.

İpucu: Hangi formül $\cos^2 A - \sin^2 A$ yapısını direkt veriyor?

Çözümü Gör

Kosinüs iki kat açı formülünün birinci hali tam olarak bu yapıda: $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$ .

Burada $A = 15^\circ$ olduğuna göre:

\cos^2(15^\circ) - \sin^2(15^\circ) = \cos(2 \times 15^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Cevap: $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Not

Neden Önemli? Bu formüller sadece sadeleştirme için değil, aynı zamanda trigonometrik denklemleri çözerken de kritik rol oynar. Örneğin $\sin(2x) = 1$ denklemini çözerken, $2\sin x \cos x = 1$ yazıp farklı çözüm yolları deneyebilirsin. Ayrıca integral alırken $\sin^2 x$ ifadesini $\frac{1 - \cos(2x)}{2}$ olarak yazmak işlemi çok kolaylaştırır.

sin(2A) ifadesi her zaman 2sin(A) değerine eşittir. Bu yanlış. sin(2A) = 2sin(A)cos(A) formülüyle hesaplanır; 2sin(A) sadece cos(A) = 1 olduğunda eşitlik sağlar, bu da genel bir kural değildir.
cos(2A) = 1 - 2sin²A formülü hangi özdeşlik kullanılarak cos²A - sin²A'dan türetilir? cos²A - sin²A ifadesinde cos²A yerine 1 - sin²A yazarsak, 1 - sin²A - sin²A = 1 - 2sin²A elde edilir. Bu dönüşüm Pisagor özdeşliği sin²A + cos²A = 1'e dayanır.
tan(2A) = 2tan(A) / (1 - ___) formülünde paydaya hangi ifade gelir? Tanjant toplam formülünde B = A yazıldığında payda 1 - tanA·tanA = 1 - tan²A olur. Bu, tanjant iki kat açı formülünün paydasıdır.

Sinüs ve Tanjantın İki Katı

Toplam formülünde iki açıyı eşitlediğimizde, trigonometrinin en güçlü araçlarından ikisi ortaya çıkar. $\sin(2x)$ ve $\tan(2x)$ ifadeleri, sadece ezberlenmesi gereken formüller değil, aynı zamanda toplam formüllerinin doğal bir sonucudur.

Sinüsün İki Katı: Toplamdan Türeyen Formül

$\sin(a + b)$ toplam formülünü hatırlayalım: $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ . Bu formülde $b = a$ yazarsak, iki açı da aynı olur. Yerine koyduğumuzda:

\sin(2a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 2\sin a \cos a

Bu formülün güzelliği, bir açının iki katının sinüsünü, o açının sinüs ve kosinüsünün çarpımıyla ifade etmesidir. Örneğin, $\sin(60^\circ)$ 'ı biliyorsak, $\sin(120^\circ)$ 'ı bu formülle hesaplayabiliriz.

Tanjantın İki Katı: Oranların Dansı

Tanjant için benzer bir yol izleyebiliriz. $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ formülünde $b = a$ yazalım:

\tan(2a) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}

Bu formül, tanjantın iki katını hesaplamak için sadece $\tan a$ değerinin yeterli olduğunu gösterir. Sinüs ve kosinüs değerlerine ihtiyaç duymadan işlem yapabiliriz.

İki Kat Açı Formülleri

\sin(2a) = 2\sin a \cos a \quad \text{ve} \quad \tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}

$a$ : Açı değeri (derece veya radyan)
$\sin(2a)$ : 2a açısının sinüsü
$\tan(2a)$ : 2a açısının tanjantı

Kosinüsün Üç Yüzü: Aynı Formülün Farklı Kılıfları

Kosinüsün iki katı formülü, $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$ şeklindedir. Ancak bu formülün iki alternatif versiyonu daha vardır. Temel özdeşlik olan $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ 'i kullanarak:

$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$ yerine yazarsak: $\cos(2a) = \cos^2 a - (1 - \cos^2 a) = 2\cos^2 a - 1$
$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$ yerine yazarsak: $\cos(2a) = (1 - \sin^2 a) - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a$

Bu üç form, aynı gerçeğin farklı bakış açılarıdır. Hangisini kullanacağınız, problemde size verilen bilgiye bağlıdır. Eğer sadece $\sin a$ biliniyorsa $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a$ formu işinizi kolaylaştırır.

Kosinüsün İki Katı Formülünün Türetilmesi

\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

Toplam formülü ile başla

b = a \text{ yaz: } \cos(2a) = \cos a \cos a - \sin a \sin a

İki açıyı eşitle

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a

Çarpımları kare olarak yaz

\sin^2 a = 1 - \cos^2 a \text{ kullan: } \cos(2a) = \cos^2 a - (1 - \cos^2 a)

Pisagor özdeşliğinden sinüs kareyi çek

\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1

Sadeleştir, ilk alternatif form \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

Uyarı

En yaygın hata, $\sin(2a)$ 'yı $2\sin a$ sanmaktır. Bu doğru değildir. $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ iken, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 'dir, ancak $2\sin(60^\circ) = \sqrt{3}$ olur. İki kat açı formülü, sinüsü ikiyle çarpmak değil, sinüs ile kosinüsün çarpımını ikiyle çarpmaktır.

Tam Çözümlü Örnek: Değer Hesaplama

Örnek: $\sin a = \frac{3}{5}$ ve $a$ dar açı olmak üzere, $\sin(2a)$ ve $\cos(2a)$ değerlerini bulun.

Çözüm:

Önce $\cos a$ 'yı bulalım. Pisagor özdeşliğinden: $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , yani $\cos a = \frac{4}{5}$ (a dar açı olduğu için pozitif).
$\sin(2a) = 2\sin a \cos a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$
$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$

Cevap: $\sin(2a) = \frac{24}{25}$ ve $\cos(2a) = \frac{7}{25}$ .

Sıra Sende: $\cos a = \frac{5}{13}$ ve $a$ dar açı olmak üzere, $\sin(2a)$ değerini bulun.

İpucu: Önce $\sin a$ 'yı Pisagor özdeşliğiyle bulun, sonra formülde yerine koyun.

Çözümü Gör

$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , yani $\sin a = \frac{12}{13}$ .
$\sin(2a) = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{120}{169}$

Cevap: $\boxed{\frac{120}{169}}$

Tanjant Örneği: Oranlarla Çalışmak

Örnek: $\tan a = \frac{1}{2}$ ise, $\tan(2a)$ değerini bulun.

Çözüm:

\tan(2a) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}

Cevap: $\tan(2a) = \frac{4}{3}$ .

İpucu

Tanjant formülünde payda $1 - \tan^2 a$ olduğu için, $\tan a = \pm 1$ olduğunda payda sıfır olur. Bu durumda $\tan(2a)$ tanımsızdır. Örneğin $\tan(45^\circ) = 1$ iken, $\tan(90^\circ)$ tanımsızdır. Bu, formülün doğal bir sınırıdır.

Bu formüller, trigonometrik denklemleri çözerken ve ifadeleri sadeleştirirken sürekli karşınıza çıkacak. Özellikle integral ve türev konularında, bu dönüşümler işlemleri büyük ölçüde kolaylaştırır.

Trigonometrik Yarım ve İki Kat Açı Özdeşlikleri

sin(2x) — 2 · sin(x) · cos(x)
cos(2x) (Kosinüs ve Sinüs) — cos²(x) - sin²(x)
cos(2x) (Yalnızca Kosinüs) — 2·cos²(x) - 1
cos(2x) (Yalnızca Sinüs) — 1 - 2·sin²(x)
tan(2x) — [2 · tan(x)] / [1 - tan²(x)]
1 + cos(2x) — 2 · cos²(x) (Yarım açı kök yok etme kalıbı)

sin(2a) ifadesi her zaman 2sin(a) değerine eşittir. sin(2a) = 2sin(a)cos(a) şeklindedir, sadece 2sin(a) değildir. Kosinüs çarpanı unutulmamalıdır.
tan(a) = 2 ise tan(2a) kaçtır? tan(2a) = 2tan(a)/(1 - tan²(a)) = 2(2)/(1-4) = 4/(-3) = -4/3. Payda negatif olduğu için sonuç negatiftir.
cos(2a) = 2cos²(a) - 1 formülü, hangi temel özdeşlik kullanılarak cos²(a) - sin²(a) formundan elde edilir? sin²a = 1 - cos²a eşitliği Pisagor özdeşliğinden gelir ve bu, cos(2a) formülünün alternatif formlarını türetmek için kullanılır.

Kosinüsün Üç Yüzü

Toplam formülünde $A = B = x$ yazdığımızda $\cos(2x)$ için tek bir formül değil, üç ayrı formül elde ederiz. Bu üç formül birbirinin aynısıdır, sadece farklı kılıklara girmişlerdir. Hangisini kullanacağın, problemin sana ne verdiğine ve ne istediğine bağlıdır.…

Yarım Açıdan Tam Açıya Geçiş

Bir önceki derste $\cos(2x)$ için üç farklı formül elde etmiştik. Şimdi bu formüllerin asıl gücünü göreceğiz: Yarım açının değerini bilerek tam açının değerini hesaplamak. Bu, trigonometride sıkça karşılaşılan bir durumdur ve bu dönüşümü yapabilmek, AYT'deki birçok soruyu çözmenin anahtarıdır.

Formüllerin Hepsini Bir Arada Görmek

Elimizde artık üç temel formül var. Bunları hatırlayalım:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$
$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$

Bu formüllerin hepsi, toplam formüllerinde $A = B = x$ yazılarak türetilmişti. Şimdi bu formülleri ters yönde kullanacağız. Yani, $\sin(2x)$ 'in değerini biliyorsak $\sin(x)$ 'i, $\cos(2x)$ 'in değerini biliyorsak $\cos(x)$ 'i bulacağız. Bu işleme "yarım açıdan tam açıya geçiş" diyebiliriz.

Kosinüsün Üç Yüzü: Doğru Olanı Seçmek

$\cos(2x)$ için üç formülümüz var. Hangisini kullanacağımız, bize verilen bilgiye bağlıdır. Bu, bir araç kutusu gibidir; işe uygun aleti seçmek gerekir.

Verilen Bilgi	Kullanılacak Formül	Neden?
$\cos(x)$ değeri	$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$	Tek bilinmeyen $\cos(x)$ 'tir.
$\sin(x)$ değeri	$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$	Tek bilinmeyen $\sin(x)$ 'tir.
$\cos(x)$ ve $\sin(x)$ değerleri	$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$	İki değer de doğrudan yerine konabilir.

Pratikte Kullanım: Adım Adım Bir Örnek

Diyelim ki $\cos(x) = \frac{3}{5}$ ve 0 < x < π⁄2 (yani $x$ dar açı). $\sin(2x)$ ve $\cos(2x)$ değerlerini bulalım.

cos(x) = 3/5 verildiğinde sin(2x) ve cos(2x) hesaplama

\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}

Temel özdeşliği kullanarak sin(x)'i bulmak için cos(x) değerini yerine koyuyoruz.

\sin(x) = \frac{4}{5}

x dar açı olduğundan sin(x) pozitiftir, bu yüzden pozitif kökü alıyoruz.

\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

Sinüsün iki kat açı formülünde sin(x) ve cos(x) değerlerini yerine koyuyoruz.

\cos(2x) = 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = \frac{18}{25} - 1 = -\frac{7}{25}

Kosinüsün iki kat açı formülünün cos(x) içeren versiyonunu kullanıyoruz, çünkü cos(x) değerini biliyoruz. \sin(2x) = \frac{24}{25} \text{ ve } \cos(2x) = -\frac{7}{25}

Bu örnekte dikkat edilmesi gereken nokta, $\cos(2x)$ 'in negatif çıkmasıdır. $x$ dar açı olmasına rağmen, $2x$ geniş açı olabilir ve kosinüs geniş açılarda negatiftir. Bu yüzden sonucun işareti hakkında acele karar vermemek gerekir.

Farklı Bir Durum: Tanjant ile

Şimdi de $\tan(x) = 2$ verilsin. $\tan(2x)$ 'i hesaplayalım. Burada doğrudan tanjantın iki kat açı formülünü kullanabiliriz:

\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1 - 4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}

Bu örnekte, sinüs ve kosinüs değerlerini bulmadan doğrudan sonuca ulaştık. Bu, formülün sağladığı pratikliktir.

Uyarı

Dikkat $\tan(2x)$ formülünde payda olan $1 - \tan^2(x)$ sıfır olabilir. $\tan(x) = \pm 1$ olduğunda payda sıfır olur ve $\tan(2x)$ tanımsızdır. Bu durumda $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ olur ve tanjant fonksiyonu bu açılarda tanımsızdır.

Şimdi Sıra Sende

Problem: $\sin(x) = \frac{12}{13}$ ve π⁄2 < x < π (geniş açı) veriliyor. $\cos(2x)$ değerini hesaplayın.

İpucu: Hangi $\cos(2x)$ formülü sadece $\sin(x)$ değerini kullanır? Geniş açıda kosinüsün işareti negatiftir, ancak bu $\cos(2x)$ 'in işaretini doğrudan etkilemez.

Çözümü Gör

1. Adım: Doğru Formülü Seçmek Bize $\sin(x)$ verildiği için $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ formülünü kullanırız. $\cos(x)$ 'i bulmamıza gerek yoktur.

2. Adım: Değeri Yerine Koymak

\cos(2x) = 1 - 2 \cdot \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{144}{169} = 1 - \frac{288}{169} = \frac{169 - 288}{169} = -\frac{119}{169}

Cevap: $\boxed{-\frac{119}{169}}$

Gerçek Dünyadan Bir Uygulama: Fizikte Atış Hareketi

Bu formüller sadece sınavlarda çıkmaz, aynı zamanda fiziğin temel konularından biri olan eğik atış hareketinde de kullanılır. Bir cismin menzilini (yatayda aldığı yol) hesaplarken $2\sin(\theta)\cos(\theta)$ ifadesiyle karşılaşırız. Bu ifade, tam olarak $\sin(2\theta)$ 'dır.

Bir cisim $v$ hızıyla ve yatayla $\theta$ açısı yapacak şekilde atıldığında, menzil formülü şöyledir:

R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}

Burada $g$ yerçekimi ivmesidir. Formül, atış açısının iki katının sinüsünü kullanır. Bu sayede, aynı hızla atılan bir cismin $30^\circ$ ile mi yoksa $60^\circ$ ile mi daha uzağa gideceğini hızlıca karşılaştırabiliriz. $\sin(60^\circ) = \sin(120^\circ)$ olduğu için, bu iki açıyla atılan cisimler aynı menzile ulaşır. İki kat açı formülleri, bu tür fiziksel problemleri çözmek için güçlü bir araçtır.

Not

Neden Bu Kadar Önemli? İki kat açı formülleri, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmenin ve değer hesaplamanın temel taşıdır. Bu formülleri ters yönde kullanmak, yani $\cos(2x)$ 'ten $\cos(x)$ 'e geçmek, ileride göreceğimiz trigonometrik denklem çözümlerinde de karşımıza çıkacaktır. Bu beceriyi şimdi sağlamlaştırmak, sonraki konuları çok daha kolay hale getirecektir.

sin(x) = 4/5 ve x dar açı ise sin(2x) kaçtır? Önce cos(x) = 3/5 bulunur (3-4-5 üçgeni), sonra sin(2x) = 2·(4/5)·(3/5) = 24/25 olur.
cos(2x) = 1 - 2sin²(x) formülü, cos(x) değeri verildiğinde kullanılır. Bu formül sadece sin(x) değerini kullanır; cos(x) verildiğinde cos(2x) = 2cos²(x) - 1 formülü daha uygundur.
tan(x) = 3 ise tan(2x) = ___. tan(2x) = 2·3/(1-3²) = 6/(-8) = -3/4 olur. Paydanın negatif olması sonucu negatif yapar.

İpucu

Eğer $\cos(2x)$ 'in değeri verilip $\cos(x)$ veya $\sin(x)$ isteniyorsa, formülleri yeniden düzenlemek gerekir. Örneğin, $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ formülünden $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ ve $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ formülünden $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ elde edilir. Bu dönüşümler, yarım açı formüllerinin temelini oluşturur.

Uyarı

$\cos(2x)$ negatif çıktı. Bu bir hata değil! $x$ dar açı olsa da, $2x$ geniş açı olabilir. Örneğin, $x = 60^\circ$ olsaydı $2x = 120^\circ$ olurdu ve $\cos(120^\circ)$ negatiftir. Bu yüzden sonucun işareti hakkında ön yargılı olmamak gerekir.