Ders 13 / 48 · AYT Matematik

Toplam ve Fark Formülleri

Bu salt okunur bir görünüm. Burada yaptığın hiçbir şey kaydedilmez, hiçbir puan tutulmaz.

Sin(75°) Değerini Tahmin Etmek

Bir an için hesap makinesini bir kenara bırak. Sana sadece bildiğin açıların trigonometrik değerleri verilmiş olsun: 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ. Şimdi düşün: sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) değerini bu bilgilerle hesaplayabilir misin?

Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri Sinüsün paylaşımcı (sin-cos cos-sin, işaret aynı) ve kosinüsün bencil/zıt (cos-cos sin-sin, işaret ters) yapısını akılda kalıcı pedagojiyle sunar.

Çoğu öğrencinin ilk içgüdüsü şöyledir: "75, 30 ile 45'in toplamı, o zaman sin⁡(75∘)=sin⁡(30∘)+sin⁡(45∘)\sin(75^\circ) = \sin(30^\circ) + \sin(45^\circ) olmalı." Bu mantıklı görünüyor, değil mi? Ama bu tamamen yanlış. Nedenini görmek için hızlı bir test yapalım.

sin⁡(30∘)=0,5vesin⁡(45∘)≈0,707\sin(30^\circ) = 0{,}5 \quad \text{ve} \quad \sin(45^\circ) \approx 0{,}707

Bunları toplarsak 1,2071{,}207 elde ederiz. Ancak sinüs fonksiyonunun değeri asla 1'den büyük olamaz! Bir çelişkiyle karşı karşıyayız. Demek ki sinüs, toplama işlemine bu şekilde davranmıyor.

Peki doğru cevap ne? Bunu bulmak için birim çembere dönelim.

Gördüğün gibi, birim çemberde sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) değeri, y eksenindeki izdüşümüdür. Bu uzunluk, sin⁡(30∘)\sin(30^\circ) ile sin⁡(45∘)\sin(45^\circ)'in basit toplamı değildir. Çünkü sinüs, bir oranı temsil eder ve bu oranlar doğrusal olarak toplanmaz.

Peki bu değeri nasıl bulacağız? İşte tam burada toplam formülleri devreye girer. Bu formüller, iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini, tek tek açıların değerleri cinsinden ifade eder.

Önemli

Kritik Nokta sin⁡(a+b)≠sin⁡a+sin⁡b\sin(a + b) \neq \sin a + \sin b

Toplam formülü şöyledir:

sin⁡(a+b)=sin⁡a⋅cos⁡b+cos⁡a⋅sin⁡b\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b

Bu formül, iki açının "karışımını" içerir: her açının sinüsü, diğer açının kosinüsüyle çarpılır.

Benzer şekilde kosinüs ve tanjant için de toplam formülleri vardır:

cos⁡(a+b)=cos⁡a⋅cos⁡b−sin⁡a⋅sin⁡b\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

Bu formüllerin neden bu şekilde olduğunu merak ediyor olabilirsin. Bir sonraki adımda bu formüllerin nasıl türetildiğini adım adım göreceğiz. Ama önce, bu formülü kullanarak sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) değerini hesaplayalım.

sin(75°) Değerinin Hesaplanması

sin⁡(75∘)=sin⁡(30∘+45∘)\sin(75^\circ) = \sin(30^\circ + 45^\circ)

75°'yi, bildiğimiz iki açının toplamı olarak yazıyoruz.

sin⁡(30∘+45∘)=sin⁡30∘cos⁡45∘+cos⁡30∘sin⁡45∘\sin(30^\circ + 45^\circ) = \sin 30^\circ \cos 45^\circ + \cos 30^\circ \sin 45^\circ

Toplam formülünü uyguluyoruz: sin(a+b) = sin a · cos b + cos a · sin b

=12⋅22+32⋅22= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Bilinen değerleri yerine koyuyoruz: sin30°=1/2, cos45°=√2/2, cos30°=√3/2, sin45°=√2/2

=24+64= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

Çarpımları yapıyoruz: (1·√2)/(2·2) = √2/4 ve (√3·√2)/(2·2) = √6/4

=2+64= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

Paydalar eşit olduğu için payları topluyoruz. \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \approx 0{,}966

Sonuç yaklaşık 0,9660{,}966 çıktı. Bu değer 1'den küçük ve mantıklı bir sonuç. Ayrıca sin⁡(60∘)=32≈0,866\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 olduğunu düşünürsek, 75° açısı 60°'den büyük olduğu için sinüs değerinin de daha büyük olması beklenir. Her şey tutarlı.

Uyarı

Sık Yapılan Hata sin⁡(a+b)=sin⁡a+sin⁡b\sin(a + b) = \sin a + \sin b şeklindeki düşünce, trigonometrideki en yaygın hatalardan biridir. Bu hatayı yapmamak için her zaman formülü uygula: sin⁡(a+b)=sin⁡a⋅cos⁡b+cos⁡a⋅sin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b. Formülü ezberlemek yerine, birim çember üzerinde neden böyle olduğunu anlamaya çalış.

Bu formüller sadece hesap yapmak için değil, aynı zamanda karmaşık trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek için de kullanılır. Örneğin, sin⁡(2x)=sin⁡(x+x)\sin(2x) = \sin(x + x) yazarak iki kat açı formüllerini türetebiliriz. Bu, bir sonraki adımda keşfedeceğimiz bir bağlantı.

Sinüs Toplam ve Fark Formülü

sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b
  • a,ba, b: Açılar (derece veya radyan) (°)
  • sin⁡(a+b)\sin(a+b): Toplamın sinüsü
  • sin⁡(a−b)\sin(a-b): Farkın sinüsü

Pratik ipucu: Formülleri ezberlerken şu kalıbı düşün: Sinüs formülünde işaret aynıdır (toplamda +, farkta -). Kosinüs formülünde ise işaret terstir (toplamda -, farkta +).

Formülİşaret KuralıÖrnek
sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin bİşaret aynısin⁡(75∘)=sin⁡(30∘+45∘)\sin(75^\circ) = \sin(30^\circ+45^\circ)
cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin bİşaret terscos⁡(75∘)=cos⁡(30∘+45∘)\cos(75^\circ) = \cos(30^\circ+45^\circ)
tan⁡(a±b)=tan⁡a±tan⁡b1∓tan⁡atan⁡b\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}Payda işareti terstan⁡(75∘)=tan⁡(30∘+45∘)\tan(75^\circ) = \tan(30^\circ+45^\circ)

Şimdi bu formüllerin nasıl türetildiğini merak ediyor olmalısın. Neden sin⁡(a+b)\sin(a+b) için böyle bir ifade çıkıyor? Bu sorunun cevabı, birim çember üzerinde yapılan zarif bir geometrik akıl yürütmede gizli. Bir sonraki adımda bu türetmeyi adım adım göreceğiz ve formüllerin arkasındaki mantığı tam olarak kavrayacağız.

  • sin(a + b) ifadesi, sin a + sin b şeklinde açılabilir. Bu yaygın bir yanılgıdır. Doğru formül sin(a+b) = sin a · cos b + cos a · sin b şeklindedir.
  • sin(75°) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? sin(75°) = sin(30° + 45°) = sin30°·cos45° + cos30°·sin45° = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2 + √6)/4
  • cos(a + b) formülünde, cos a · cos b ifadesinden ___ · sin a · sin b çıkarılır. Kosinüs toplam formülü: cos(a+b) = cos a · cos b - sin a · sin b. Sinüslerin çarpımı çıkarılır.

Toplam ve Fark Formülleri İnşası

Bir önceki derste sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) değerini tahmin etmeye çalıştın ve muhtemelen şunu fark ettin: 75∘=30∘+45∘75^\circ = 30^\circ + 45^\circ olmasına rağmen, sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) değeri sin⁡(30∘)+sin⁡(45∘)\sin(30^\circ) + \sin(45^\circ) toplamına eşit değil. Bu, trigonometrinin en kritik noktalarından biri. Trigonometrik fonksiyonlar doğrusal değildir, yani toplama işlemini içeriye dağıtamazsın.

Peki bu durumda ne yapacağız? İşte tam burada toplam ve fark formülleri devreye girer. Bu formüller, iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini, açıların kendi trigonometrik değerleri cinsinden ifade etmeni sağlar.

Uyarı

Sık Yapılan Hata sin⁡(a+b)≠sin⁡a+sin⁡b\sin(a+b) \neq \sin a + \sin b olduğunu asla unutma. Bu hatayı yapan öğrenciler, sin⁡(30∘+60∘)\sin(30^\circ + 60^\circ) yerine sin⁡(90∘)=1\sin(90^\circ) = 1 yerine yanlışlıkla sin⁡30∘+sin⁡60∘=0.5+0.866=1.366\sin 30^\circ + \sin 60^\circ = 0.5 + 0.866 = 1.366 bulurlar ki bu imkânsızdır çünkü sinüs fonksiyonunun değeri asla 1'den büyük olamaz.

Sinüs ve Kosinüs Toplam Formülleri

İki açının toplamı için sinüs ve kosinüs formülleri şu şekildedir:…

Adım Adım sin(105°) Hesabı

Birim çemberde 60∘60^\circ ve 45∘45^\circ açılarının sinüs ve kosinüs değerlerini koordinatlar olarak görmüştün; şimdi bu değerleri toplam formüllerinde yerine koyarak 105∘105^\circ gibi doğrudan birim çemberde okunamayan bir açının değerini hesaplayacaksın.

105°'yi Bilinen Açılara Ayırma

105∘105^\circ'yi, değerlerini birim çemberden ezbere bildiğin iki açının toplamı olarak yaz:

105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

Bu seçim işe yarar çünkü 60∘60^\circ (30-60-90 üçgeni) ve 45∘45^\circ (45-45-90 üçgeni) için sinüs ve kosinüs değerleri hazırdır:

Açısin⁡\sincos⁡\cos
60∘60^\circ32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}
45∘45^\circ22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}

Bu tablo, çözüm boyunca sürekli başvuracağın referanstır.

Sinüs Toplam Formülünü Uygulama

Sinüs toplam formülü:

sin⁡(a+b)=sin⁡(a)cos⁡(b)+cos⁡(a)sin⁡(b)\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)

Sözel kalıp: "sinüs kosinüs artı kosinüs sinüs". Bu kalıbı a=60∘a = 60^\circ, b=45∘b = 45^\circ için uygulayarak sin⁡(105∘)\sin(105^\circ)'i hesaplayalım.

sin(105°) Değerinin Hesaplanması

sin⁡(105∘)=sin⁡(60∘+45∘)\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ)

105°'yi, değerlerini bildiğimiz iki açının toplamı olarak yazıyoruz.

sin⁡(60∘+45∘)=sin⁡(60∘)cos⁡(45∘)+cos⁡(60∘)sin⁡(45∘)\sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ)

Sinüs toplam formülünü uyguluyoruz: sinüs kosinüs artı kosinüs sinüs.

=(32)(22)+(12)(22)= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Tablodaki bilinen değerleri yerine koyuyoruz.

=64+24= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

Kökleri çarpıyoruz: 3×2=6\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6} ve 1×2=21 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}; paydalar eşit (4).

=6+24= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Paydalar eşit olduğu için payları topluyoruz. \sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.966

Sonucun yaklaşık değeri 0.9660.966'dır. Bu, 105∘105^\circ ikinci bölgede olduğu için sinüsün pozitif olmasıyla tutarlıdır.

Uyarı

Dağılma Hatası sin⁡(60∘+45∘)\sin(60^\circ + 45^\circ) ifadesini sin⁡(60∘)+sin⁡(45∘)\sin(60^\circ) + \sin(45^\circ) olarak açmak yanlıştır. Hemen kontrol edelim: sin⁡(60∘)+sin⁡(45∘)≈0.866+0.707=1.573\sin(60^\circ) + \sin(45^\circ) \approx 0.866 + 0.707 = 1.573. Bu sonuç 1'den büyük - oysa sinüs değeri asla 1'i geçemez. Doğru sonuç 6+24≈0.966\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.966'dır. Sinüs doğrusal bir fonksiyon değildir; formülü birebir uygulamak zorundasın.

Kosinüs Toplam Formülünü Uygulama

Kosinüs toplam formülü:

cos⁡(a+b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)

Sözel kalıp: "kosinüs kosinüs eksi sinüs sinüs". Sinüsteki artı, kosinüste eksi olur - bu işaret farkı sınavlarda en çok karıştırılan noktadır. Şimdi aynı a=60∘a = 60^\circ, b=45∘b = 45^\circ seçimiyle cos⁡(105∘)\cos(105^\circ)'i hesaplayalım:

cos⁡(105∘)=cos⁡(60∘)cos⁡(45∘)−sin⁡(60∘)sin⁡(45∘)\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(45^\circ)

Değerleri yerine koy:

cos⁡(105∘)=(12)(22)−(32)(22)\cos(105^\circ) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
=24−64=2−64≈−0.259= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \approx -0.259

Sonuç negatiftir çünkü 105∘105^\circ ikinci bölgededir ve kosinüs orada negatiftir - bu, sonucun doğruluğunu teyit eden bir kontrol noktasıdır.

Tanjant Toplam Formülünü Uygulama

Tanjant toplam formülü:

tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}

tan⁡(60∘)=3\tan(60^\circ) = \sqrt{3} ve tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 olduğunu kullanarak:

tan⁡(105∘)=3+11−3⋅1=3+11−3\tan(105^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}

Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı 1+31 + \sqrt{3} ile çarpalım:

tan⁡(105∘)=(3+1)(1+3)(1−3)(1+3)=(3+1)21−3\tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3}
=3+23+1−2=4+23−2=−2−3≈−3.732= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3} \approx -3.732

Tanjantın 105∘105^\circ için negatif olması beklenir: ikinci bölgede tanjant negatiftir. Bu sonuç, sin⁡(105∘)cos⁡(105∘)=0.966−0.259≈−3.73\frac{\sin(105^\circ)}{\cos(105^\circ)} = \frac{0.966}{-0.259} \approx -3.73 ile de doğrulanır.

İpucu

Formül Seçimi Kontrolü 105∘105^\circ'yi 60∘+45∘60^\circ + 45^\circ olarak yazdık. Alternatif olarak 105∘=135∘−30∘105^\circ = 135^\circ - 30^\circ de kullanılabilir - bu durumda fark formülleri devreye girer. Hangi ayrıştırmayı seçersen seç, formülün yapısı aynı kalır: sinüs toplamda "sinüs kosinüs artı kosinüs sinüs", farkta "sinüs kosinüs eksi kosinüs sinüs" uygulanır.

Etkileşimli
Trigonometrik Toplam-Fark & Yarım Açı Simülatörü
  • sin(105°) değerini hesaplamak için 105° hangi iki bilinen açının toplamı olarak yazılır? (60° + ___°) 105° = 60° + 45° ayrıştırması, her iki açının sinüs ve kosinüs değerlerinin birim çemberden bilinmesini sağlar.
  • sin(105°) ifadesinin doğru açılımı hangisidir? Sinüs toplam formülü sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) şeklindedir. İlk seçenek dağılma hatasıdır; üçüncü seçenek sinüs fark formülü, dördüncü seçenek ise kosinüs toplam formülüdür.
  • cos(105°) değeri negatiftir çünkü 105° ikinci bölgededir. İkinci bölgede x koordinatı (kosinüs) negatiftir. Hesaplanan sonuç (√2 - √6)/4 ≈ -0.259 bu gözlemle tutarlıdır.

Tanjant Fark Formülü Uygulaması

Sinüs ve kosinüs için toplam-fark formüllerini zaten kullandın. Şimdi sıra tanjantta. Tanjant fark formülü, bir açının tanjantını, bilinen iki açının tanjantları cinsinden ifade eder. Bu formülün gücü, doğrudan hesap makinesi olmadan, sadece bildiğin açıların değerlerini kullanarak sonuca ulaşmandır.

Tanjant Fark Formülü şu şekildedir:

tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b}

Bu formül, sinüs ve kosinüs formüllerinden türetilebilir. tan⁡(a−b)=sin⁡(a−b)cos⁡(a−b)\tan(a-b) = \frac{\sin(a-b)}{\cos(a-b)} olduğunu biliyoruz. Sinüs ve kosinüs fark formüllerini yerine koyup sadeleştirme yaparsak, yukarıdaki tanjant formülüne ulaşırız.

Not

Neden Bu Formül Önemli? AYT sınavında, 15∘15^\circ, 75∘75^\circ, 105∘105^\circ gibi açıların trigonometrik değerleri sorulur. Bu açılar, bildiğin açıların (30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ) toplamı veya farkı olarak yazılabilir. Tanjant fark formülü, bu tür sorularda işini kolaylaştırır.

Adım Adım Uygulama: tan⁡(15∘)\tan(15^\circ) Hesabı

15∘15^\circ açısını, bildiğimiz iki açının farkı olarak yazabiliriz: 15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ.

Tanjant Fark Formülü

tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b}
  • tan⁡(a−b)\tan(a-b): Fark açısının tanjantı (birimsiz)
  • tan⁡a,tan⁡b\tan a, \tan b: Bilinen açıların tanjantları (birimsiz)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

  1. Bilinen değerleri yaz: tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 ve tan⁡(30∘)=33\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}
  1. Formülde yerine koy:
tan⁡(15∘)=1−331+1⋅33\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}
  1. Sadeleştir:
tan⁡(15∘)=3−333+33=3−33+3\tan(15^\circ) = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}
  1. Paydayı rasyonel yap (paydayı eşleniğiyle çarp):
tan⁡(15∘)=(3−3)(3−3)(3+3)(3−3)=9−63+39−3=12−636\tan(15^\circ) = \frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6}
  1. Sadeleştir:
tan⁡(15∘)=2−3\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}

Bu sonuç, yaklaşık olarak 0.2680.268'e eşittir. Hesap makinesiyle kontrol edebilirsin.

İpucu

Pratik İpucu Paydayı rasyonel yapma adımını atlamak istersen, sonucu 3−33+3\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} olarak da bırakabilirsin. AYT'de bu haliyle de kabul edilir.

Dikkat Etmen Gereken Yaygın Hata

Uyarı

Sık Yapılan Hata Tanjant fark formülünü, sinüs ve kosinüs formüllerine benzetip dağıtma hatasına düşme:

tan⁡(a−b)≠tan⁡a−tan⁡b\tan(a - b) \neq \tan a - \tan b

Bu, sin⁡(a+b)≠sin⁡a+sin⁡b\sin(a+b) \neq \sin a + \sin b demekle aynı hatadır. Formülü her zaman pay ve paydasıyla birlikte tam olarak uygula.

Şimdi Sen Dene

Problem: tan⁡(75∘)\tan(75^\circ) değerini hesapla. İpucu: 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ yazabilirsin. Ancak dikkat, bu bir toplam formülü gerektirir. Tanjant toplam formülü:

tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

Bu formülü kullanarak çözümü bul.

Çözümü Göster

tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 ve tan⁡(30∘)=33\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} değerlerini toplam formülünde yerine koy:

tan⁡(75∘)=1+331−1⋅33=3+333−33=3+33−3\tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

Paydayı rasyonel yap:

tan⁡(75∘)=(3+3)(3+3)(3−3)(3+3)=9+63+39−3=12+636\tan(75^\circ) = \frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6}

Sadeleştir:

tan⁡(75∘)=2+3\tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}

Cevap: 2+3\boxed{2 + \sqrt{3}}

Gerçek Hayattan Bir Bağlantı

Mühendislikte, bir rampanın eğim açısını hesaplarken tanjant fark formülü kullanılır. Örneğin, bir binanın gölgesinin uzunluğu ile güneş ışınlarının açısı arasındaki ilişkiyi bulmak için bu formüle ihtiyaç duyarsın. Güneş açısı saatler içinde değişir ve bu değişimi hesaplamak, iki farklı zaman arasındaki açı farkının tanjantını bulmayı gerektirir.

Özet

Tanjant fark formülü, sinüs ve kosinüs formüllerinden türetilir ve şu yapıya sahiptir:

tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b}

Bu formülü kullanırken:

  • Açıyı, bildiğin açıların farkı olarak yaz.
  • Bilinen tanjant değerlerini yerine koy.
  • Cebirsel sadeleştirme yap.
  • Gerekirse paydayı rasyonel yap.
Görsel
Trigonometrik Dört Bölge ve Fonksiyon İşaret Değişim Matrisi
  • tan(a - b) = tan a - tan b eşitliği her zaman doğrudur. Tanjant fark formülü pay ve paydasıyla birlikte uygulanmalıdır; tanjant doğrusal dağılmaz.
  • tan(15°) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? 15° = 45° - 30° yazılıp fark formülü uygulandığında sonuç 2 - √3 olur.
  • tan(a + b) formülünün paydası 1 - tan a · tan b, payı ise ___ şeklindedir. Tanjant toplam formülünde pay, iki tanjantın toplamıdır: tan(a+b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a · tan b).