Teğet ve Normal Denklemleri - AYT Matematik

Eğriye Dokunmak

Bir dağ yolunda araba kullanırken direksiyonu çevirdiğiniz anı düşünün. O anda aracınızın yönü, yolun eğrisine "dokunan" hayali bir doğru boyunca ilerler. İşte bu doğruya teğet denir ve türevin en somut görsel karşılığıdır.

Teğet ve Normal Doğrularının Denklemleri Teğet eğimi m_T = f'(x_0) ile diklik bağıntısı m_T · m_N = -1 üzerinden normal doğrusunun geometrik inşasını sunar.

Türevin bir noktadaki değeri, o noktadaki teğetin eğimini verir. Yani $f'(x_0)$ sayısı, $x_0$ noktasında grafiğe çizilen teğet doğrusunun eğimidir. Bu ilişkiyi kullanarak, bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazabiliriz.

Teğet Doğrusu Denklemi

Bir $f$ fonksiyonu ve bu fonksiyonun grafiği üzerinde bir $A(x_0, f(x_0))$ noktası verilsin. Bu noktadaki teğetin eğimi $m_{teğet} = f'(x_0)$ 'dır. Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemini kullanarak:

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

Bu formül, analitik geometrideki noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi ile birebir aynıdır. Türev, bize sadece eğimi söyleyen bir araçtır.

Normal Doğrusu Nedir?

Teğete dik olan doğruya normal denir. Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan, normalin eğimi:

m_{normal} = -\frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{(eğer } f'(x_0) \neq 0 \text{ ise)}

Normalin denklemi de aynı mantıkla:

y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)

Uyarı

Sık Yapılan Hata Normalin eğimini bulurken sadece "eksi" almak yetmez. $m_{teğet} = 2$ ise, $m_{normal} = -2$ değil, $m_{normal} = -\frac{1}{2}$ 'dir. Karşılıklı (reciprocal) almayı unutmayın.

Örnek: Teğet ve Normal Denklemleri

$f(x) = x^2$ parabolünün $x = 1$ noktasındaki teğet ve normal doğrularının denklemlerini bulalım.

f(x) = x² nin x=1 Noktasındaki Teğet ve Normal Denklemleri

f'(x) = 2x

Üs kuralını uygulayarak türevi buluyoruz.

f'(1) = 2(1) = 2

x=1 değerini türevde yerine koyarak eğimi buluyoruz.

f(1) = 1^2 = 1

Noktanın y koordinatını buluyoruz.

y - 1 = 2(x - 1)

Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini yazıyoruz.

y = 2x - 1

Denklemi sadeleştiriyoruz. Teğetin denklemi budur.

m_{normal} = -\frac{1}{2}

Normalin eğimi, teğet eğiminin negatif karşılığıdır.

y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)

Normalin denklemini yazıyoruz.

y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}

Normalin denklemini sadeleştiriyoruz. Teğet: y = 2x - 1, Normal: y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}

İpucu

Pratik Yol Teğet denklemini bulduktan sonra normali bulmak için eğimi $-1$ ile çarpıp ters çevirmeniz yeterlidir. Nokta aynı kalır, sadece eğim değişir.

Özel Durum: Yatay Teğet

$f'(x_0) = 0$ ise teğet doğrusu yataydır ( $y = f(x_0)$ ). Bu durumda normal doğrusu dikey olur ve denklemi $x = x_0$ şeklindedir. Dikey doğruların eğimi tanımsız olduğundan, normalin eğimini formülle bulamayız.

Sıra Sende

$f(x) = x^3 - 2x$ eğrisinin $x = 1$ noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulun.

İpucu: Önce $f'(x)$ 'i bulun, sonra $x=1$ koyun. Ardından $f(1)$ 'i hesaplayıp nokta-eğim formülünü kullanın.

Çözümü Göster

$f'(x) = 3x^2 - 2$

$f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1$

$f(1) = 1^3 - 2(1) = -1$

Teğet denklemi: $y - (-1) = 1(x - 1)$

$y + 1 = x - 1$

$y = x - 2$

Cevap: $\boxed{y = x - 2}$

Bir fonksiyonun türevinin bir noktadaki değeri, o noktadaki teğetin eğimini verir. Türev, anlık değişim hızıdır ve geometrik olarak teğetin eğimine eşittir.
f(x) = 3x² fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? f'(x) = 6x olduğundan, f'(2) = 6(2) = 12 olur. Teğetin eğimi türevin o noktadaki değeridir.
Bir noktadaki teğetin eğimi m ise, normalin eğimi ___ olur. Teğet ve normal birbirine dik olduğundan, eğimlerinin çarpımı -1 olmalıdır. Bu yüzden normalin eğimi -1/m'dir.

Türev Eşittir Eğim

Bir fonksiyonun türevi, grafiğin o noktadaki anlık değişim hızını verir. Bu değer, aynı zamanda o noktadan geçen teğet doğrusunun eğimine eşittir. Yani $f'(a)$ sayısı, $x = a$ noktasındaki teğetin eğimidir. Bu bağlantı, türevin en güçlü geometrik yorumlarından biridir ve analitik geometri ile kalkülüsü birleştirir.

Eğimden Doğru Denklemine

Analitik geometriden hatırlayacağın gibi, eğimi $m$ olan ve $(x_1, y_1)$ noktasından geçen doğrunun denklemi şöyle yazılır:

y - y_1 = m(x - x_1)

Bu formülü türevle birleştirdiğimizde, $f$ fonksiyonunun grafiğine $x = a$ noktasında teğet olan doğrunun denklemini doğrudan yazabiliriz:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Burada $m = f'(a)$ , $(x_1, y_1) = (a, f(a))$ olarak yerine konmuştur. Teğet doğrusu, eğriye o noktada "dokunan" ve aynı eğime sahip olan doğrudur.

Adım Adım Teğet Denklemi Bulma

Bir fonksiyonun belirli bir noktasındaki teğet denklemini bulmak için şu adımları izle:

Noktayı bul: $x = a$ değerini fonksiyonda yerine koyarak $y = f(a)$ değerini hesapla.
Türevi al: $f'(x)$ fonksiyonunu bul.
Eğimi hesapla: $x = a$ değerini türevde yerine koyarak $m = f'(a)$ değerini bul.
Doğru denklemini yaz: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ formülünü kullan.

Bu adımlar, her teğet problemi için geçerli olan evrensel bir algoritmadır.

f(x) = x² fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğet denklemi

f(3) = 3^2 = 9

Önce teğetin değeceği noktayı buluyoruz: (3, 9).

f'(x) = 2x

Üs kuralını uygulayarak türevi alıyoruz.

m = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6

x = 3 değerini türevde yerine koyarak teğetin eğimini buluyoruz.

y - 9 = 6(x - 3)

Nokta-eğim formülünü kullanarak doğru denklemini yazıyoruz.

y = 6x - 18 + 9 = 6x - 9

Parantezi açıp sadeleştirerek denklemi y = mx + n formuna getiriyoruz. y = 6x - 9

Normal Doğrusu: Dik Olanın Eğimi

Teğet doğrusuna dik olan doğruya normal doğrusu denir. İki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı $-1$ olur. Yani teğetin eğimi $m$ ise, normalin eğimi $m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m}$ olur.

Bu bilgiyle normal doğrusunun denklemi de benzer şekilde yazılır:

y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)

Uyarı

Sık yapılan hata Normalin eğimini bulurken sadece işareti değiştirmek yetmez. Eğim $m$ ise normalin eğimi $-m$ değil, $-\frac{1}{m}$ olmalıdır. Örneğin teğetin eğimi 2 ise normalin eğimi $-\frac{1}{2}$ olur, $-2$ değil. Bu, dik doğruların eğimleri çarpımının $-1$ olması kuralından gelir.

Örnek: Teğet ve Normal Birlikte

$f(x) = x^3 - 2x$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki teğet ve normal denklemlerini bulalım.

Adım 1: Noktayı bulalım.

f(1) = 1^3 - 2(1) = -1

Nokta: $(1, -1)$

Adım 2: Türevi alalım.

f'(x) = 3x^2 - 2

Adım 3: Eğimi hesaplayalım.

m = f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1

Adım 4: Teğet denklemini yazalım.

y - (-1) = 1(x - 1)

y + 1 = x - 1

y = x - 2

Adım 5: Normalin eğimini bulalım.

m_{\text{normal}} = -\frac{1}{1} = -1

Adım 6: Normal denklemini yazalım.

y - (-1) = -1(x - 1)

y + 1 = -x + 1

y = -x

Bu örnekte teğet $y = x - 2$ doğrusu, normal ise $y = -x$ doğrusudur. İki doğrunun eğimleri çarpımı $1 \cdot (-1) = -1$ olduğundan, birbirlerine gerçekten dik olduklarını doğrulayabiliriz.

Türev Değeri ve Eğim İlişkisi

Türevin değeri, teğetin eğimini verir ve bu ilişki her noktada geçerlidir. Fonksiyonun artan olduğu aralıklarda f'(x) > 0 olduğundan teğet yukarı doğru eğimlidir. Azalan aralıklarda f'(x) < 0 olduğundan teğet aşağı doğru eğimlidir. Türevin sıfır olduğu noktalarda ise teğet yataydır, yani eğimi sıfırdır.

Bu ilişki, bir fonksiyonun grafiğini çizerken veya yorumlarken kritik öneme sahiptir. Grafikte bir noktadaki teğetin eğimini gözlemleyerek, o noktadaki türevin işareti ve büyüklüğü hakkında doğrudan bilgi edinebilirsin.

Sıra Sende

$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki teğet denklemini bul.

İpucu: Önce $f(2)$ değerini hesapla, sonra türevi alıp $f'(2)$ değerini bul. Ardından nokta-eğim formülünü kullan.

Çözümü Göster

Adım 1: Noktayı bulalım.

f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

Nokta: $(2, 3)$

Adım 2: Türevi alalım.

f'(x) = 4x - 3

Adım 3: Eğimi hesaplayalım.

m = f'(2) = 4(2) - 3 = 5

Adım 4: Teğet denklemini yazalım.

y - 3 = 5(x - 2)

y - 3 = 5x - 10

y = 5x - 7

Cevap: $\boxed{y = 5x - 7}$

Türevin Geometrik Gücü

Türevin eğim olarak yorumlanması, matematiğin iki büyük dalını birleştirir. Analitik geometrideki doğru denklemleri bilgisi ile kalkülüsteki türev kavramı, bu noktada tek bir güçlü araç haline gelir. Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki davranışını, o noktadaki teğet doğrusu aracılığıyla tam olarak tanımlayabilirsin. Bu, fizikte hareketin anlık hızını, ekonomide marjinal değişimleri ve mühendislikte optimizasyon problemlerini çözmenin temelini oluşturur.

Bir fonksiyonun x = a noktasındaki türevi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimine eşittir. Türevin geometrik yorumu tam olarak budur: f'(a) değeri, grafiğe x = a noktasında teğet olan doğrunun eğimini verir.
Teğetin eğimi 3 olan bir fonksiyonda, aynı noktadaki normal doğrusunun eğimi kaçtır? Dik doğruların eğimleri çarpımı -1 olmalıdır. Normalin eğimi -1/3 olur çünkü 3 × (-1/3) = -1.
Teğet doğrusunun denklemi y - f(a) = ___ (x - a) formülüyle bulunur. Teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevi olan f'(a) değeridir ve nokta-eğim formülünde m yerine yazılır.

Dik Olan: Normal

Teğet doğrusu eğriye dokunurken, normal doğrusu tam o noktada teğete dik olarak durur. İkisi birlikte, eğrinin o noktasındaki "çerçeveyi" oluşturur: teğet yatay hareketi, normal ise dikey ayrılışı temsil eder. Bir kayak pistinde teğet, kaydığınız yön; normal ise size dik gelen, pistin dışına doğru uzanan hayali çizgidir.

Eğimler Arasındaki Kritik İlişki

Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ 'dir (dikey ve yatay doğrular hariç). Bu, normalin eğimini bulmak için altın kuraldır:

m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{teğet}}}

Eğer teğetin eğimi $m_t = f'(a)$ ise, normalin eğimi $m_n = -\frac{1}{f'(a)}$ olur. Bu ilişki, türevin size verdiği bilgiyi anında geometrik bir yoruma dönüştürür.

Uyarı

Sık Yapılan Hata Öğrenciler sıklıkla normalin eğimini $-m_t$ olarak alır. Bu, doğrunun negatifidir, diki değildir. Örneğin, teğetin eğimi $2$ ise, normalin eğimi $-\frac{1}{2}$ olmalıdır, $-2$ değil. Diklik, eğimlerin çarpımının $-1$ olmasını gerektirir: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$ .

Normal Denklemini Kurmak

Normal doğrusunun denklemini yazmak için, teğet denkleminde kullandığınız yöntemin aynısını uygularsınız. Tek fark, eğim değeridir. Bir nokta $(a, f(a))$ ve eğim $m_n$ bilindiğinde, nokta-eğim formülü devreye girer:

y - f(a) = m_n (x - a)

Bu formül, analitik geometrideki doğru denklemi bilgisinin doğrudan bir uygulamasıdır. Türev, size sadece doğrunun eğimini söyler; gerisi klasik geometridir.

Adım Adım Örnek

$f(x) = x^2$ eğrisinin $x = 1$ noktasındaki normal doğrusunun denklemini bulalım.

f(x) = x² eğrisinin x = 1 noktasındaki normal denklemi

f(1) = 1^2 = 1

Önce noktanın y koordinatını buluyoruz. Eğri üzerindeki nokta (1, 1) olur.

f'(x) = 2x \implies f'(1) = 2

Türev alarak teğetin eğimini buluyoruz. f'(1) = 2, teğetin eğimidir.

m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{1}{2}

Diklik koşulunu uyguluyoruz. Normalin eğimi, teğet eğiminin negatif çarpmaya göre tersidir.

y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)

Nokta-eğim formülünü kullanıyoruz: y - y₁ = m(x - x₁).

y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}

Denklemi düzenleyerek y'yi yalnız bırakıyoruz. Bu, normal doğrusunun denklemidir. y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}

Kontrol: Teğet doğrusunun eğimi $2$ idi. Normalin eğimi $-\frac{1}{2}$ ile çarpımı: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$ . Diklik sağlandı.

Teğet mi, Normal mi? Karar Verme

Hangi doğruyu bulmanız gerektiğini soru söyler, ancak bazen dikkatli okumak gerekir:

Özellik	Teğet	Normal
Eğimi	$m_t = f'(a)$	$m_n = -\frac{1}{f'(a)}$
Eğri ile ilişkisi	Dokunur, aynı yöne bakar	Dik keser, dışa doğru uzanır
Görsel benzetme	Kayak pistinde kayış yönü	Piste dik duran kayak direği

İpucu

Pratik İpucu Soruda "teğet" kelimesi geçiyorsa doğrudan $f'(a)$ kullanın. "Normal" veya "dik doğru" geçiyorsa, önce $f'(a)$ bulun, sonra negatif çarpmaya göre tersini alın. İki adımı tek formülde birleştirmeyin, adım adım ilerleyin.

Özel Durum: Yatay Teğet

Teğetin eğimi $0$ ise ne olur? $m_t = 0$ için normalin eğimi $m_n = -\frac{1}{0}$ tanımsızdır. Bu durumda teğet yatay, normal ise dikey bir doğrudur. Dikey doğrunun denklemi $x = a$ şeklindedir.

Örneğin, $f(x) = x^2$ parabolünün tepe noktası olan $(0, 0)$ noktasında teğet yataydır ( $m_t = 0$ ). Bu noktadaki normal, $x = 0$ dikey doğrusudur. Bu, eğim formülünün çökmediği, sadece farklı bir forma büründüğü özel bir durumdur.

Sıra Sizde

$f(x) = x^3 - 2x$ eğrisinin $x = 1$ noktasındaki normal doğrusunun denklemini bulun.

İpucu: Önce $f'(x)$ 'i bulun, sonra $x = 1$ için değerlendirin, ardından negatif çarpmaya göre tersini alın.

Çözüm

f(1) = 1^3 - 2(1) = -1

Nokta: $(1, -1)$

f'(x) = 3x^2 - 2 \implies f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1

Teğetin eğimi: $m_t = 1$

m_n = -\frac{1}{1} = -1

Normal denklemi:

y - (-1) = -1(x - 1)

y + 1 = -x + 1

y = -x

Cevap: $\boxed{y = -x}$

Normal doğrusu, teğetin dik yansımasıdır. Türevin verdiği eğimi negatif çarpmaya göre ters çevirmek, geometrik diklik koşulunu cebirsel bir işleme dönüştürür. Bu ilişkiyi kavradığınızda, teğet ve normal denklemleri tek bir çatı altında birleşir: doğru denklemi yazma sanatı.

Bir noktadaki teğetin eğimi 3 ise, normalin eğimi -3'tür. Normalin eğimi, teğet eğiminin negatif çarpmaya göre tersidir, yani -1/3 olmalıdır. -3, sadece işaret değiştirmektir, diklik şartını sağlamaz.
f(x) = 2x + 1 doğrusunun herhangi bir noktasındaki normalin eğimi nedir? Doğrunun eğimi sabittir: f'(x) = 2. Normalin eğimi, bunun negatif çarpmaya göre tersidir: -1/2.
Teğetin eğimi 0 olduğunda, normal doğrusu ______ bir doğrudur. Teğet yatayken (eğim 0), normal dikey olur çünkü 1/0 tanımsızdır ve dikey doğrunun denklemi x = a formundadır.

Denklem Kurma Sanatı

Elinin altında iki güçlü araç var: teğetin eğimi $f'(a)$ ve normalin eğimi $-\frac{1}{f'(a)}$ . Bu araçları birleştiren tek bir köprü var, o da nokta-eğim formülü. Çünkü bir doğruyu tamamen tanımlamak için sadece iki bilgi yeterlidir: üzerindeki bir nokta ve eğimi.

Analitik geometriden bildiğin bu formül, türevin gücüyle birleştiğinde eğri problemlerini doğru problemlerine dönüştürür:…

Eğimi Bul

Türev alma kurallarını artık biliyorsun. Eğim ve denklem kurma araçlarını da öğrendin. Şimdi bu bilgileri tek bir akıcı süreçte birleştirme zamanı. Amaç, herhangi bir fonksiyon ve nokta için teğet ve normal denklemlerini hatasız ve hızlıca yazabilmek.

Üç Adımlı Akış

Bir soruyu çözerken zihninde şu üç adımı otomatikleştirmen gerekiyor:

Eğimi Bul: $f'(x)$ türevini al ve verilen $x = a$ noktasında değerlendir. Bu, teğetin eğimi $m_t = f'(a)$ olur.
Noktayı Bul: Eğrinin üzerindeki noktayı bul. Genelde $x = a$ verilir, $y = f(a)$ değerini hesaplayarak $P(a, f(a))$ noktasını elde edersin.
Denklemi Yaz: Nokta-eğim formülünü kullan. Teğet için $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Normal için eğimi $m_n = -\frac{1}{f'(a)}$ olarak al ve aynı formülde yerine koy.

Bu akış, işlemi adım adım güvenli hale getirir. Özellikle sınavda zaman kazandırır.

Tam Çözümlü Örnek

$f(x) = x^3 - 2x$ eğrisinin $x = 1$ noktasındaki teğet ve normal denklemlerini bulalım.

Teğet ve Normal Denklemlerini Bulma

f'(x) = 3x^2 - 2

Üs kuralını uygulayarak türevi alıyoruz. Her terimin türevi ayrı ayrı hesaplanır.

m_t = f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1

x = 1 değerini türevde yerine koyarak teğetin eğimini buluyoruz.

y_0 = f(1) = (1)^3 - 2(1) = -1

x = 1 değerini orijinal fonksiyonda yerine koyarak noktanın y koordinatını buluyoruz. Nokta P(1, -1)'dir.

y - (-1) = 1(x - 1) \Rightarrow y = x - 2

Nokta-eğim formülünü kullanarak teğet denklemini yazıyoruz ve düzenliyoruz.

m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1

Normalin eğimi, teğet eğiminin negatif çarpmaya göre tersidir.

y - (-1) = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x

Aynı P(1, -1) noktasını ve yeni eğimi kullanarak normal denklemini yazıyoruz. Teğet: $y = x - 2$ \quad \text{Normal: } y = -x

Yaygın Hatalar ve Doğru Yaklaşımlar

Bu konuda en sık yapılan hatalar, işlemin hızlanmasıyla birlikte artar.

YANLIŞ: Normal eğimini bulurken $-\frac{1}{f'(x)}$ yerine $\frac{1}{f'(x)}$ yazmak. İşaret ve çarpmaya göre ters işlemini unutmak en büyük tuzaktır. DOĞRU: Normal eğimi daima teğet eğiminin negatif çarpmaya göre tersidir: $m_t \cdot m_n = -1$ .

YANLIŞ: Türevi yanlış noktada değerlendirmek. Türevi aldıktan sonra verilen $x$ değerini türevde yerine koymak yerine, fonksiyonun kendisinde yerine koymak. DOĞRU: Eğim için türevi, nokta için fonksiyonu kullan. İki ayrı hesaplama olduğunu unutma.

YANLIŞ: Denklemi yazarken noktayı karıştırmak. Bulduğun $y$ değerini $x$ yerine koymak. DOĞRU: Nokta-eğim formülünde $(x_1, y_1)$ noktasını doğru etiketle. Formül $y - y_1 = m(x - x_1)$ şeklindedir.

İpucu

Bir fonksiyonun $x = a$ noktasındaki teğetinin eğimi $f'(a)$ 'dır. Bu değer sıfırsa, teğet doğrusu yataydır ( $y = f(a)$ ). Bu durumda normal doğrusu dikey olur ve denklemi $x = a$ şeklinde yazılır. Bu özel durumu gözden kaçırma.

Karşılaştırmalı Tablo: Teğet ve Normal

Özellik	Teğet Doğrusu	Normal Doğrusu
Eğimi	$m_t = f'(a)$	$m_n = -\frac{1}{f'(a)}$
Konumu	Eğriye $P(a, f(a))$ noktasında dokunur.	Aynı $P$ noktasından geçer ve teğete diktir.
Denklemi	$y - f(a) = f'(a)(x - a)$	$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$
Özel Durum	$m_t = 0$ ise $y = f(a)$	$m_t = 0$ ise $x = a$

Bu tablo, iki doğru arasındaki ilişkiyi özetler. Özellikle özel durumları hatırlamak, sınavda işini kolaylaştırır.

Hız Testi

Şimdi öğrendiklerini pekiştirmek için bir soru çözelim. $f(x) = \sqrt{x}$ eğrisinin $x = 4$ noktasındaki normal doğrusunun denklemini bul.

Not

Önce türevi al, sonra eğimi hesapla. Normal eğimini bulmayı unutma. Ardından noktayı yerine koy.

Çözüm:

Türev: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Teğet Eğimi: $m_t = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$
Normal Eğimi: $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1/4} = -4$
Nokta: $P(4, f(4)) = P(4, 2)$
Denklem: $y - 2 = -4(x - 4) \Rightarrow y = -4x + 18$

Cevap: Normal doğrusunun denklemi $y = -4x + 18$ 'dir.

Önceki Bilgilerle Bağlantı

Bu süreçte kullandığın türev alma kuralları, fonksiyonun değişim hızını bulmanın temelidir. Bir önceki derste öğrendiğin nokta-eğim formülü ise bu iki farklı eğimi (teğet ve normal) birer doğru denklemine dönüştüren köprüdür. Bu iki bilgiyi birleştirdiğinde, analitik geometri ile türevi ustaca harmanlamış olursun.

f(x) = x² eğrisinin x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi nedir? f'(x) = 2x olduğundan, f'(3) = 6'dır. Teğetin eğimi türevin o noktadaki değeridir.
Bir eğrinin bir noktasındaki normal doğrusu, o noktadaki teğet doğrusuna paraleldir. Normal doğrusu teğete diktir, paralel değildir. Eğimleri çarpımı -1'dir.
f(x) = x³ eğrisinin x = 1 noktasındaki normalinin eğimi, teğet eğiminin negatif çarpmaya göre tersidir ve değeri ____'tür. f'(x) = 3x² olduğundan teğet eğimi f'(1) = 3'tür. Normal eğimi ise -1/3'tür.