Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir dağ bisikletiyle tırmanırken pedalların zorlaştığı anı düşün. Yolun eğimi arttıkça bacakların daha çok güç harcar. Peki bir fonksiyonun grafiğine baktığında, hangi aralıkta "pedalların zorlaştığını" nasıl anlarsın? Türev, tam olarak bu sorunun cevabıdır: grafiğin her noktadaki eğimini, yani o andaki "yokuş dikliğini" söyler.

f'(x) > 0 durumunda teğetlerin sağa yatık pozitif eğimli (artan), f'(x) < 0 durumunda sola yatık negatif eğimli (azalan) olduğunu kanıtlar.

Türev İşareti Ne Anlatır?

Zaten biliyorsun ki $f'(x)$, $f(x)$ fonksiyonunun $x$ noktasındaki anlık değişim hızıdır ve geometrik olarak teğet doğrusunun eğimidir. Şimdi bu eğimin işareti üzerine düşünelim:

• f'(x) &gt; 0 ise teğet doğrusu sola yatıktır (yukarı doğru tırmanır). Bu, fonksiyonun bu noktada artan olduğu anlamına gelir. Grafik, $x$ arttıkça yukarı doğru hareket eder.
• f'(x) &lt; 0 ise teğet doğrusu sağa yatıktır (aşağı doğru iner). Bu, fonksiyonun bu noktada azalan olduğu anlamına gelir. Grafik, $x$ arttıkça aşağı doğru hareket eder.
• $f'(x) = 0$ ise teğet doğrusu yataydır. Fonksiyon bu noktada ne artıyor ne azalıyor demektir. Bu, bir tepe veya vadi noktası (yerel maksimum veya minimum) adayıdır.

Bu üç durum, birinci türev testinin kalbidir. Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için tek yapman gereken, türevin işaretini incelemektir.

Bir Fonksiyonu İnceleyelim

Somut bir örnek üzerinde görelim. Diyelim ki $f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonumuz var. Bu fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını, hangi aralıklarda azaldığını bulalım.

f(x) = x³ - 3x Fonksiyonunun Artan/Azalan Aralıkları

Türev alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun türevini buluyoruz. Üs kuralı: 3x² ve sabitin türevi 0 olduğu için -3 kalır.

Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluyoruz. Bu noktalar, türevin işaretinin değişebileceği adaylardır.

Kritik noktalar (-1 ve 1) gerçel sayı doğrusunu üç aralığa böler. Her aralıktan bir test değeri seçip türevin işaretini belirleyeceğiz.

İlk aralıktan (-∞, -1) test değeri olarak x = -2 seçtik. Türev pozitif çıktı, yani fonksiyon bu aralıkta artandır.

İkinci aralıktan (-1, 1) test değeri olarak x = 0 seçtik. Türev negatif çıktı, yani fonksiyon bu aralıkta azalandır.

Üçüncü aralıktan (1, ∞) test değeri olarak x = 2 seçtik. Türev yine pozitif çıktı, yani fonksiyon bu aralıkta artandır. f(x) = x³ - 3x fonksiyonu (-∞, -1) ve (1, ∞) aralıklarında artan, (-1, 1) aralığında azalandır.

Bu sonucu bir de grafik üzerinde görelim. $x = -1$ noktasında fonksiyon bir tepeye (yerel maksimum) ulaşır, $x = 1$ noktasında ise bir vadiye (yerel minimum) iner. Bu iki nokta arasında fonksiyon sürekli azalır.

Peki Ya Türev Hiç Sıfır Olmazsa?

Her fonksiyonun türevi sıfıra eşit olmaz. Örneğin $f(x) = x^3$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = 3x^2$'dir. Bu türev yalnızca $x = 0$ noktasında sıfırdır, ama $x = 0$'ın her iki tarafında da pozitiftir ($3x^2$ her zaman $0$'dan büyük veya eşittir). Bu durumda fonksiyon tüm gerçel sayılarda artandır. $x = 0$ noktası bir tepe veya vadi değil, sadece eğimin geçici olarak yataylaştığı bir noktadır (buna büküm noktası denir, ama bu başka bir dersin konusu).

Adım Adım Yöntem

Bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları bulmak için izlenecek yol:

1. Türevi al: $f'(x)$'i hesapla.
2. Kritik noktaları bul: $f'(x) = 0$ denklemini çöz ve ayrıca $f'(x)$'in tanımsız olduğu noktaları da listele.
3. İşaret tablosu oluştur: Kritik noktaları sayı doğrusuna yerleştir. Bu noktalar, sayı doğrusunu aralıklara böler.
4. Test değeri seç: Her aralıktan bir değer seç ve bu değeri $f'(x)$'te yerine koy. Sonucun işareti (pozitif veya negatif), o aralıkta fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu söyler.
5. Sonucu yaz: Pozitif çıkan aralıklarda fonksiyon artandır, negatif çıkan aralıklarda azalandır.

Bu yöntemi bir de $f(x) = -x^2 + 4x$ fonksiyonuna uygulayalım. Türev $f'(x) = -2x + 4$'tür. Kritik noktayı bulalım: $-2x + 4 = 0 \implies x = 2$. Sayı doğrusunu $x = 2$ noktası ikiye böler. $x = 0$ test değeri için f'(0) = 4 &gt; 0 (artan), $x = 3$ test değeri için f'(3) = -2 &lt; 0 (azalan). Yani fonksiyon $(-\infty, 2)$ aralığında artan, $(2, \infty)$ aralığında azalandır. Bu, tepe noktası $x = 2$ olan bir paraboldür.

• f'(x) < 0 olduğu bir aralıkta f(x) fonksiyonu için ne söylenebilir? Türevin negatif olması, teğet doğrusunun eğiminin negatif olduğu, yani grafiğin aşağı doğru indiği anlamına gelir. Bu, fonksiyonun azalan olduğunu gösterir.
• f'(x) = 0 olduğu her nokta, fonksiyonun artanlıktan azalanlığa geçtiği bir noktadır. Bu ifade yanlıştır. f(x) = x³ fonksiyonunda f'(0) = 0'dır ancak fonksiyon x = 0'da artmaya devam eder; türevin sıfır olması tek başına bir ekstremum noktası garantilemez.
• f(x) = x² - 4x fonksiyonunun azalan olduğu aralık (-∞, ___) şeklindedir. f'(x) = 2x - 4'tür. Türevi sıfıra eşitlersek 2x - 4 = 0, x = 2 bulunur. x = 0 test değeri için f'(0) = -4 < 0 olduğundan, fonksiyon (-∞, 2) aralığında azalandır.

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun "hız göstergesidir." Tıpkı bir arabadaki hız göstergesinin aracın o andaki hızını gösterdiği gibi, $f'(x)$ de $f(x)$ fonksiyonunun o noktadaki değişim hızını gösterir. Ancak burada kritik bir fark vardır: hız göstergesi sadece hızın büyüklüğünü verirken, türev bize yönü de söyler.

Türevin işareti, fonksiyonun grafiğinin o noktada hangi yöne gittiğini belirler:

• f'(x) &gt; 0 ise fonksiyon artandır (grafik soldan sağa yükselir).
• f'(x) &lt; 0 ise fonksiyon azalandır (grafik soldan sağa düşer).
• $f'(x) = 0$ ise fonksiyonun o noktada yatay bir teğeti vardır (grafik ne yükselir ne düşer, anlık olarak "durur").

Bu basit kural, bir fonksiyonun tüm davranışını haritalandırmanın anahtarıdır. Türevin işaretini incelediğimizde, fonksiyonun hangi aralıklarda tırmandığını, hangi aralıklarda indiğini kesin olarak söyleyebiliriz.

Neden Türevin İşareti? Geometrik Sezgi

Düşün: Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet doğrusu çizdiğini hayal et. Bu teğetin eğimi, o noktadaki türevin değerine eşittir.

• Teğet doğrusu yukarı doğru eğimliyse (sağa giderken yükseliyorsa), eğimi pozitiftir. Dolayısıyla f'(x) &gt; 0 ve fonksiyon bu noktada artıyordur.
• Teğet doğrusu aşağı doğru eğimliyse (sağa giderken alçalıyorsa), eğimi negatiftir. Dolayısıyla f'(x) &lt; 0 ve fonksiyon bu noktada azalıyordur.

Bir parabolü düşün: $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Bu parabolün tepe noktası $x = 2$'dedir. Sol tarafında (x &lt; 2) grafik aşağı iner, sağ tarafında (x &gt; 2) ise yukarı çıkar. Türevi $f'(x) = 2x - 4$ olduğuna göre:

• x &lt; 2 için f'(x) &lt; 0 (azalan),
• $x = 2$ için $f'(x) = 0$ (tepe noktası),
• x &gt; 2 için f'(x) &gt; 0 (artan).

Türevin işareti, parabolün yönünü birebir yansıtır.

Aralıkları Belirleme Adımları

Bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları bulmak için şu adımları izleriz:

1. Türevi al: $f'(x)$'i hesapla.
2. Kritik noktaları bul: $f'(x) = 0$ denklemini çöz. Bu noktalar, türevin işaretinin değişebileceği aday noktalardır. Ayrıca $f'(x)$'in tanımsız olduğu noktalar da kritik noktalardır.
3. Sayı doğrusunu böl: Bulduğun kritik noktalarla sayı doğrusunu aralıklara ayır.
4. Test noktası seç: Her aralıktan bir değer seç ve $f'(x)$'te yerine koy. İşaretini belirle.
5. Yorumla: Pozitifse fonksiyon o aralıkta artan, negatifse azalandır.

Çalışılmış Örnek: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 fonksiyonunun artan ve azalan aralıklarını bulma

Türevi al

Üs kuralını uygulayarak türevi hesaplıyoruz. Kritik noktaları bul

Türevi sıfıra eşitleyip çarpanlara ayırıyoruz. Çözümleri yaz

İki kritik nokta bulduk. Aralıkları belirle ve test et

Her aralıktan bir test noktası seçip türevin işaretini buluyoruz.

Sonuç: $f(x)$ fonksiyonu $(-\infty, 0)$ aralığında artan, $(0, 2)$ aralığında azalan, $(2, \infty)$ aralığında ise artandır. $x = 0$ noktasında fonksiyon artandan azalana geçtiği için bu bir yerel maksimum, $x = 2$ noktasında ise azalandan artana geçtiği için yerel minimum noktasıdır.

Şimdi Sıra Sende

Çalışılmış örnekteki yöntemi kullanarak $g(x) = -x^2 + 4x - 1$ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bul.

İpucu: Önce $g'(x)$'i bul, sonra $g'(x) = 0$ denklemini çöz, ardından aralıkları test et.

Çözüm

1. Türev: $g'(x) = -2x + 4$
2. Kritik nokta: $-2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$
3. Aralıklar: $(-\infty, 2)$ ve $(2, \infty)$
4. Test: g'(0) = 4 &gt; 0 (artan), g'(3) = -2 &lt; 0 (azalan)

Cevap: $g(x)$, $(-\infty, 2)$ aralığında artan, $(2, \infty)$ aralığında azalandır.

Bir Fonksiyonun Türevi ve Grafiği Arasındaki Bağlantı

Türevin işaretini incelerken, fonksiyonun grafiğini gözünüzde canlandırmak çok yardımcı olur. $f'(x)$'in işaret tablosu, $f(x)$'in grafiğinin bir "yol haritasıdır": hangi bölgede yokuş yukarı, hangi bölgede yokuş aşağı olduğunu gösterir.

Bu grafikte mavi çizgi $f(x)$ fonksiyonunu, kırmızı çizgi ise türevi $f'(x)$'i göstermektedir. Dikkat et: $f'(x)$ pozitifken (x &lt; 0 ve x &gt; 2) mavi grafik yükseliyor, $f'(x)$ negatifken (0 &lt; x &lt; 2) ise mavi grafik düşüyor. Türevin sıfır olduğu noktalarda ($x = 0$ ve $x = 2$) ise fonksiyonun yönü değişiyor.

Bu ilişkiyi kavradığında, bir fonksiyonun türevini verip grafiğini çizmen istendiğinde ya da grafiği verip türevinin işaretini yorumlaman istendiğinde zorlanmayacaksın.

• f'(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu o noktada artandır. Pozitif türev, fonksiyonun o noktadaki teğetinin yukarı eğimli olduğunu, yani fonksiyonun arttığını gösterir.
• f(x) = x^2 - 6x + 5 fonksiyonu hangi aralıkta azalandır? f'(x) = 2x - 6 = 0 olduğunda x = 3'tür. x < 3 için f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon (-∞, 3) aralığında azalandır.
• f'(x) = 0 denkleminin çözümleri olan noktalara ___ noktaları denir. Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu, fonksiyonun yön değiştirebileceği aday noktalardır.

Türevin işaretini tek tek noktalarda incelemek, bir filmin karelerine tek tek bakmak gibidir. Oysa işaret tablosu, filmin tamamını bir şerit halinde önüne serer. Tablo, $f'(x)$'in hangi aralıkta pozitif (yokuş yukarı), hangi aralıkta negatif (yokuş aşağı) olduğunu düzenli bir çizelgede gösterir. Bu çizelge, fonksiyonun artan ve azalan olduğu tüm aralıkları aynı anda görmeni sağlar.

Tablonun İskeleti: Kritik Noktalar ve Kökler

Bir işaret tablosu kurmanın ilk adımı, türevin işaretinin değişebileceği noktaları bulmaktır. Bu noktalar, $f'(x) = 0$ denkleminin kökleri ile $f'(x)$'in tanımsız olduğu noktalardır. Bu noktalara kritik noktalar denir. Tablo, bu kritik noktaların sayı doğrusu üzerinde işaretlenmesiyle oluşur.

Adım Adım Tablo Kurulumu

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ fonksiyonunu ele alalım. Önce türevini alalım:

Şimdi $f'(x) = 0$ denklemini çözelim:

Bu iki kök, sayı doğrusunu üç aralığa böler: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ ve $(2, \infty)$. Şimdi her aralıktan bir test noktası seçip $f'(x)$'in işaretini belirleyelim.

Aralık 1: $(-\infty, 0)$ için $x = -1$ seçelim. f'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 3(-1)(-3) = 9 &gt; 0. Türev pozitif, yani fonksiyon bu aralıkta artıyor.

Aralık 2: $(0, 2)$ için $x = 1$ seçelim. f'(1) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 &lt; 0. Türev negatif, yani fonksiyon bu aralıkta azalıyor.

Aralık 3: $(2, \infty)$ için $x = 3$ seçelim. f'(3) = 3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9 &gt; 0. Türev pozitif, yani fonksiyon bu aralıkta tekrar artıyor.

Bu bilgileri bir tabloya dökelim:

Bu tablo, fonksiyonun grafiğinin şeklini özetler: Önce tırmanır, $x=0$'da zirveye ulaşır, sonra iner, $x=2$'de dibe vurur ve tekrar tırmanmaya başlar.

Çift Katlı Köklerin Tuzağı

Tabloyu kurarken en sık yapılan hata, türevin köklerinin katlılığını hesaba katmamaktır. Eğer bir kök çift katlıysa, örneğin $f'(x) = (x - 1)^2$ gibi, türev $x = 1$'de sıfırlanır ama işareti değiştirmez. Fonksiyon, bu noktada artmaya devam eder veya azalmaya devam eder; sadece o anda yatay bir anlık durma yaşar.

Tabloyu Okumak: Artan ve Azalan Aralıkları Yazmak

Tablodan sonuç çıkarmak artık çok kolay. Fonksiyonun arttığı aralıklar, f'(x) &gt; 0 olan aralıklardır. Fonksiyonun azaldığı aralıklar ise f'(x) &lt; 0 olan aralıklardır.

Yukarıdaki örnek için:

• Artan aralıklar: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$
• Azalan aralık: $x \in (0, 2)$

Kritik noktaların kendileri ($x = 0$ ve $x = 2$) bu aralıklara dahil edilmez, çünkü bu noktalarda fonksiyon ne artıyor ne de azalıyor; anlık olarak yatay.…

Türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun "nefes aldığı" anlardır. Bu noktalarda grafik yatay bir an yaşar; ne yukarı çıkar ne aşağı iner. İşte bu yatay anlar, kritik noktalar olarak adlandırılır ve artan/azalan aralıkların sınırlarını çizer.

Kritik Nokta Nedir?

Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu ($f'(x) = 0$) veya türevinin tanımlı olmadığı noktalara kritik nokta denir. Bu noktalar, fonksiyonun davranışının değişebileceği aday bölgelerdir. Tıpkı bir yolun zirvesi veya en derin vadisi gibi, fonksiyon bu noktalarda yön değiştirebilir.

Kritik Nokta Koşulu

• $c$: Kritik noktanın apsisi
• $f'(c)$: Fonksiyonun c noktasındaki türevi

Kritik Noktaları Bulma Adımları

1. $f'(x)$ türevini hesapla.
2. $f'(x) = 0$ denklemini çöz. Bulduğun $x$ değerleri kritik nokta adaylarıdır.
3. $f'(x)$'in tanımsız olduğu, ancak $f(x)$'in tanımlı olduğu $x$ değerlerini de listeye ekle.
4. Bulduğun bu $x$ değerlerini, fonksiyonun tanım kümesiyle karşılaştır. Tanım kümesi dışında kalanları ele.

Bu adımları bir örnekle netleştirelim.

Kritik Noktaları Bulma: f(x) = x^3 - 3x^2 + 1

Türevi Hesapla

Güç kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alıyoruz. Türevi Sıfıra Eşitle

Türevin sıfır olduğu anlar, grafiğin yatay olduğu anlardır. Çarpanlara Ayır

Denklemi çözmek için ortak çarpan parantezine alıyoruz. Kökleri Bul

Her çarpanı sıfıra eşitleyerek x değerlerini buluyoruz. Tanım Kümesini Kontrol Et

Polinom fonksiyonlar her yerde tanımlıdır, bu yüzden tüm reel sayılar geçerlidir. Kritik noktalar x = 0 ve x = 2'dir.

Türevin Tanımsız Olduğu Durumlar

Sadece $f'(x)=0$ çözümleri değil, türevin tanımsız olduğu noktalar da kritik olabilir. Örneğin, mutlak değer fonksiyonu $f(x) = |x|$ için türev, $x=0$ noktasında tanımsızdır (keskin bir köşe vardır). Bu nokta, fonksiyonun minimum olduğu yerdir ve kritik bir noktadır.

Neden Bu Noktaları Yakalıyoruz?

Kritik noktalar, işaret tablosunun bölüm noktalarıdır. Türevin işareti, bu noktalar arasında değişebilir. Önceki derste oluşturduğumuz işaret tablosunda, bu kritik noktaları tabloya yerleştirerek aralıkları belirleriz. Yani kritik noktaları yakalamak, artan ve azalan aralıkları kesin olarak belirlemenin ilk ve en önemli adımıdır.

Örneğin, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ fonksiyonunun kritik noktaları $x=0$ ve $x=2$'dir. Bu noktalar, reel sayı doğrusunu üç aralığa böler: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ ve $(2, \infty)$. Her aralıkta türevin işaretini test ederek fonksiyonun nerelerde arttığını veya azaldığını belirleyebiliriz.

• f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun kritik noktası nedir? f'(x) = 2x - 4 = 0 denklemini çözersek x = 2 bulunur. Bu, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu tek noktadır.
• Bir fonksiyonun türevinin tanımsız olduğu her nokta, o fonksiyonun kritik noktasıdır. Kritik nokta olması için noktanın, fonksiyonun tanım kümesinde olması gerekir. Türev tanımsız olsa bile fonksiyon o noktada tanımsızsa kritik nokta değildir.
• f(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun kritik noktaları x = -1 ve x = ___ değerleridir. f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 denklemini çözersek x^2 = 1, yani x = ±1 bulunur.

Türevin işaret tablosu hazır; şimdi bu tablodan fonksiyonun davranışını okuma zamanı. Tablo, $f'(x)$'in işaretini gösterir; bu işaret de $f(x)$'in o aralıkta artan mı yoksa azalan mı olduğunu söyler. Pozitif türev, grafiğin yukarı tırmandığını; negatif türev ise aşağı indiğini ifade eder.

Tablodan Grafiğe Geçiş

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ fonksiyonunu ele alalım. Türevi:

Kritik noktalar $x = 0$ ve $x = 2$'dir. İşaret tablosu şöyle oluşur:

Tablodaki her satır, fonksiyonun o aralıktaki "ruh halini" anlatır. f'(x) &gt; 0 olduğu aralıklarda fonksiyon artar, f'(x) &lt; 0 olduğu aralıklarda azalır.

f(x) = x³ - 3x² + 2 için Artan/Azalan Aralıklar

Türevi al

Üs kuralını uygulayarak türevi buluyoruz. Çarpanlara ayır

Türevi sıfır yapan kritik noktaları bulmak için çarpanlara ayırıyoruz. Kritik noktaları bul

Her çarpanı sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluyoruz. İşaret tablosu oluştur

Her aralıktan bir test noktası seçip türevin işaretini belirliyoruz. Sonuç

Pozitif türev artan, negatif türev azalan aralığı verir. f(x) artan: (-∞, 0) ∪ (2, ∞), azalan: (0, 2)

Pratik: Kendi Başına Dene

Şimdi aynı yöntemi farklı bir fonksiyona uygula. $g(x) = -x^2 + 4x - 1$ fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bul.

Bu fonksiyonun türevi $g'(x) = -2x + 4$'tür. Kritik nokta, türevi sıfır yapan değerdir: $-2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.

$(-\infty, 2)$ aralığından $x = 0$ seçelim: g'(0) = 4 &gt; 0, yani fonksiyon bu aralıkta artar.

$(2, \infty)$ aralığından $x = 3$ seçelim: g'(3) = -2 &lt; 0, yani fonksiyon bu aralıkta azalır.

Doğru: $g(x)$ artan: $(-\infty, 2)$, azalan: $(2, \infty)$

Grafikle Doğrulama

$g(x) = -x^2 + 4x - 1$ bir paraboldür ve tepe noktası $x = 2$'dedir. Parabolün kolları aşağı doğru açılır çünkü başkatsayı negatiftir. Bu, türev analiziyle bulduğumuz sonucu doğrular: $x = 2$'ye kadar artar, sonra azalır.

Karşılaştırmalı Bakış

Önceki derste kritik noktaların fonksiyonun "nefes aldığı" anlar olduğunu görmüştük. Şimdi bu noktaların artan ve azalan aralıkları birbirinden ayırdığını fark et. Kritik noktalar, türevin işaretinin değiştiği yerlerdir. İşaret değişiyorsa, fonksiyonun yönü de değişir.

Bu ilişki, bir sonraki derste maksimum ve minimum noktaları bulmanın temelini oluşturur. Bir kritik noktada türev negatiften pozitife geçiyorsa, o nokta bir yerel minimumdur. Pozitiften negatife geçiyorsa, yerel maksimumdur.

• Türevi pozitif olan bir aralıkta fonksiyon azalandır. Türevin pozitif olması, fonksiyonun o aralıkta arttığını gösterir. Negatif türev azalan aralığı ifade eder.
• f'(x) = (x-1)(x-3) ise f(x) hangi aralıkta azalandır? Türevin negatif olduğu aralıkta fonksiyon azalır. (1, 3) aralığında (x-1) pozitif, (x-3) negatiftir, çarpım negatiftir.
• f'(x) < 0 olduğu aralıkta f(x) ___ bir fonksiyondur. Negatif türev, fonksiyonun değerlerinin azaldığını, yani fonksiyonun azalan olduğunu gösterir.