Analitik Düzlemde Dönüşümler

Bir video oyununda karakterini sağa taşıdığını, bir aynada kendi yansımanı gördüğünü ya da bir fotoğrafı 90 derece döndürdüğünü düşün. Bunların hepsi aslında koordinat düzleminde yapılan işlemlerin günlük hayattaki karşılıkları. Bu derste, bir noktayı veya şekli düzlemde nasıl öteleyeceğini (taşıyacağını), yansıtacağını (simetri alacağını) ve döndüreceğini öğreneceksin.

Öteleme vektörü, eksenlere ve orijine göre simetri kuralları ile 90°, 180°, 270° dönme koordinat değişimlerini tek panoda özetler.

Bu dersin sonunda, koordinatları verilen herhangi bir noktaya veya şekle bu üç dönüşümü uygulayarak yeni konumlarını hesaplayabileceksin.

Öteleme: Noktayı Yerinden Oynatmak

Öteleme, bir şekli veya noktayı düzlemde belirli bir yönde ve miktarda kaydırmaktır. Şeklin boyutu, biçimi ve yönü değişmez; sadece konumu değişir. Bunu, bir bardağı masanın üzerinde sağa doğru itmek gibi düşünebilirsin. Bardak aynı bardaktır, sadece yeri değişmiştir.

Matematiksel olarak, bir $(x, y)$ noktasını $a$ birimi sağa (veya sola) ve $b$ birimi yukarı (veya aşağı) ötelemek için koordinatlara bu değerleri ekleriz (veya çıkarırız).…

Bir noktanın $x$-eksenine göre simetriği alındığında, noktanın $x$ koordinatı aynı kalırken $y$ koordinatı işaret değiştirir. Yani $A(x, y)$ noktasının $x$-eksenine göre simetriği $A'(x, -y)$ olur. Bu, aynanın $x$-ekseni olduğu bir yansımadır. Nokta, aynanın diğer tarafına, aynı uzaklıkta ama ters yönde taşınır.

Peki ya $y$-eksenine göre simetri? Bu sefer $y$ koordinatı sabit kalır, $x$ koordinatı işaret değiştirir: $B(x, y) \rightarrow B'(-x, y)$. Orijine göre simetride ise her iki koordinat da işaret değiştirir: $C(x, y) \rightarrow C'(-x, -y)$.

Bu üç kuralı tek tabloda özetleyelim:

$y = x$ Doğrusuna Göre Simetri

Özel bir durum daha var: $y = x$ doğrusuna göre yansıma. Bu doğru, birinci ve üçüncü bölgeleri ikiye bölen 45 derecelik doğrudur. Bu doğruya göre yansıma, koordinatların yer değiştirmesine neden olur: $D(x, y) \rightarrow D'(y, x)$.

Örneğin, $D(2, 5)$ noktasının $y = x$ doğrusuna göre simetriği $D'(5, 2)$ olur. Nokta, doğrunun diğer tarafına geçerken $x$ ve $y$ değerleri birbiriyle yer değiştirir.

Dönüşümlerin Bileşkesi: Öteleme + Yansıma

Şimdi iki dönüşümü art arda uygulayalım. Öteleme ve yansıma birlikte kullanıldığında, sıralama sonucu değiştirir. Önce öteleyip sonra yansıtmak ile önce yansıtıp sonra ötelemek genellikle farklı noktalar verir.

Örnek: $P(1, 2)$ noktasına önce 3 birim sağa öteleme, sonra $x$-eksenine göre yansıma uygulayalım.

Adım 1: Öteleme: $(1, 2) \rightarrow (1+3, 2) = (4, 2)$

Adım 2: $x$-eksenine göre yansıma: $(4, 2) \rightarrow (4, -2)$

Şimdi sıralamayı değiştirelim: önce yansıma, sonra öteleme.

Adım 1: $x$-eksenine göre yansıma: $(1, 2) \rightarrow (1, -2)$

Adım 2: Öteleme: $(1, -2) \rightarrow (1+3, -2) = (4, -2)$

Bu örnekte sonuçlar aynı çıktı. Ama bu her zaman böyle değildir. Eğer öteleme yatay değil de dikey olsaydı, sonuç değişirdi. Örneğin, 2 birim yukarı öteleme ile $x$-eksenine göre yansımayı düşünelim:

Önce ötele, sonra yansıt: $(1, 2) \rightarrow (1, 4) \rightarrow (1, -4)$

Önce yansıt, sonra ötele: $(1, 2) \rightarrow (1, -2) \rightarrow (1, 0)$

Sonuçlar farklı! $(1, -4)$ ve $(1, 0)$ aynı nokta değil. Dönüşümlerin sırası önemlidir.

Çok Adımlı Dönüşüm Uygulaması

Bir üçgenin köşelerine birden fazla dönüşüm uygulayalım. Bu, AYT'de sıkça karşılaşılan bir soru tipidir.

Problem: Köşeleri $A(2, 1)$, $B(4, 1)$ ve $C(3, 4)$ olan bir üçgenin, önce $y$-eksenine göre yansımasını alalım, sonra 2 birim aşağı öteleyelim. Yeni köşe koordinatlarını bulalım.

Adım 1: $y$-eksenine göre yansıma kuralını uygula: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$

$A(2, 1) \rightarrow A'(-2, 1)$

$B(4, 1) \rightarrow B'(-4, 1)$

$C(3, 4) \rightarrow C'(-3, 4)$

Adım 2: 2 birim aşağı ötele: $(x, y) \rightarrow (x, y-2)$

$A'(-2, 1) \rightarrow A''(-2, -1)$

$B'(-4, 1) \rightarrow B''(-4, -1)$

$C'(-3, 4) \rightarrow C''(-3, 2)$

Yeni üçgenin köşeleri $A''(-2, -1)$, $B''(-4, -1)$ ve $C''(-3, 2)$ olur.

Sıra Sende: Aynı üçgeni önce 2 birim aşağı öteleyip sonra $y$-eksenine göre yansıtsaydık sonuç ne olurdu? İki sonucu karşılaştır. Farklılar mı, aynılar mı?

Çözüm

Adım 1: 2 birim aşağı ötele: $(x, y) \rightarrow (x, y-2)$

$A(2, 1) \rightarrow A'(2, -1)$

$B(4, 1) \rightarrow B'(4, -1)$

$C(3, 4) \rightarrow C'(3, 2)$

Adım 2: $y$-eksenine göre yansıma: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$

$A'(2, -1) \rightarrow A''(-2, -1)$

$B'(4, -1) \rightarrow B''(-4, -1)$

$C'(3, 2) \rightarrow C''(-3, 2)$

Sonuçlar aynı çıktı. Bunun nedeni, yatay öteleme ile dikey yansımanın bağımsız eksenlerde çalışmasıdır. $y$-eksenine göre yansıma sadece $x$ koordinatını etkiler, dikey öteleme ise sadece $y$ koordinatını. Bu durumda sıralama önemli değildir.

Cevap: $A''(-2, -1)$, $B''(-4, -1)$, $C''(-3, 2)$

Bu örnekte sıralama sonucu değiştirmedi. Ama dikey öteleme ile $x$-eksenine göre yansıma kullanılsaydı, iki işlem de aynı ekseni ($y$) etkileyeceği için sıralama önemli hale gelirdi. Hangi dönüşümlerin sıralamadan bağımsız olduğunu anlamak, soruları daha hızlı çözmeni sağlar.

Analitik Düzlemde Nokta Simetrisi Dönüşüm Kuralları

• x eksenine göre simetri — P'(a, -b) (x korunur, y işaret değiştirir)
• y eksenine göre simetri — P'(-a, b) (y korunur, x işaret değiştirir)
• Orijine (0, 0) göre simetri — P'(-a, -b) (Her iki koordinat da zıt işaretli olur)
• y = x doğrusuna göre simetri — P'(b, a) (Koordinatlar birbiriyle yer değiştirir / Ters fonksiyon)
• y = -x doğrusuna göre simetri — P'(-b, -a) (Hem yer hem işaret değiştirir)
• Orijin etrafında pozitif 90° dönme — P'(-b, a)

• (3, -7) noktasının x-eksenine göre simetriği hangisidir? x-eksenine göre yansımada x aynı kalır, y işaret değiştirir: (3, -7) → (3, 7).
• Bir noktanın y = x doğrusuna göre simetriğinde koordinatlar yer değiştirir. y = x doğrusuna göre yansıma kuralı (x, y) → (y, x) şeklindedir, yani koordinatlar yer değiştirir.
• (4, 2) noktasına önce 3 birim sola öteleme, sonra orijine göre yansıma uygulanırsa sonuç (, ) olur. Önce öteleme: (4, 2) → (1, 2). Sonra orijine göre yansıma: (1, 2) → (-1, -2).

Bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır; şimdi bu doğruyu döndürdüğümüzde eğimi nasıl değişir?

Dönme Matrisi ile Nokta Görüntüsü

Bir noktayı orijin etrafında $\theta$ açısı kadar döndürmek, onun koordinatlarını şu matrisle çarpmak demektir:

$P(x, y)$ noktasının görüntüsü $P'(x', y')$ şöyle hesaplanır:

Bu formülü ezberlemek yerine, iki özel durumdan türetebilirsin. $90^\circ$ dönmede $\cos 90^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$ olduğundan $(x, y) \to (-y, x)$ elde edilir. $180^\circ$ dönmede ise $\cos 180^\circ = -1$, $\sin 180^\circ = 0$ olduğundan $(x, y) \to (-x, -y)$ olur. Genel açı için matris, bu iki durumu sürekli bir şekilde birbirine bağlar.

Çözümlü Örnek: Noktayı $60^\circ$ Döndürme

$P(2, 4)$ noktasını orijin etrafında $60^\circ$ döndürelim. $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ ve $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ değerlerini matriste yerine koyalım:

Görüntü noktası $P'(1 - 2\sqrt{3},\ 2 + \sqrt{3})$ olur. Yaklaşık değerlerle kontrol edelim: $P' \approx (-2.46,\ 3.73)$. Orijinden uzaklık korunur: $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$ ve $\sqrt{(-2.46)^2 + 3.73^2} \approx \sqrt{20}$. Dönme, noktanın orijine olan uzaklığını değiştirmez.

Doğrunun Dönme Altındaki Görüntüsü

Bir doğruyu döndürmek için üzerindeki iki noktayı döndürüp yeni doğruyu bulmak yeterlidir. $y = 2x + 1$ doğrusunu $90^\circ$ döndürelim. Doğru üzerinde iki nokta seç: $A(0, 1)$ ve $B(1, 3)$. Bu noktaları $90^\circ$ döndür:

$A'$ ve $B'$ noktalarından geçen doğrunun eğimi:

$A'(-1, 0)$ noktasını kullanarak denklemi yazalım:

Dikkat: Orijinal doğrunun eğimi $2$ iken, $90^\circ$ dönme sonrası eğim $-\frac{1}{2}$ oldu. Bu bir tesadüf değil - bir doğruyu $90^\circ$ döndürdüğünde eğimi $m$ ise yeni eğim $-\frac{1}{m}$ olur, çünkü doğru dik konumuna gelir.

Dinamik Deney: Dönmeyi Hisset

Deneyde gördüğün gibi, noktanın orijine uzaklığı $|P| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ dönme boyunca sabit kalır. Doğrunun eğimi ise sürekli değişir; $90^\circ$ dönmede $m = 2$ doğrusu $m' = -\frac{1}{2}$ eğimine sahip olur.

Bileşke Dönme: İki Dönmenin Toplamı

Bir noktayı önce $30^\circ$, sonra $45^\circ$ döndürmek, onu tek seferde $75^\circ$ döndürmekle aynıdır. Matris çarpımı bunu otomatik olarak gösterir:

Genel kural: $R_\alpha \cdot R_\beta = R_{\alpha + \beta}$. Bunu doğrulamak için $P(1, 0)$ noktasını önce $30^\circ$ döndür:

Sonra bu noktayı $45^\circ$ döndür:

Tek adımda $75^\circ$ döndürseydik: $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ve $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. Sonuçlar birebir aynı. Bileşke dönmede açılar toplanır.

Aktarım Problemi: Üçgenin Döndürülmesi

$A(1, 0)$, $B(0, 2)$, $C(-1, 1)$ köşelerine sahip üçgeni orijin etrafında $180^\circ$ döndür. Her köşeyi $R_{180^\circ}$ matrisiyle çarp:

$180^\circ$ dönme, her koordinatın işaretini değiştirir: $(x, y) \to (-x, -y)$. Bu, üçgeni orijine göre nokta simetrisiyle eşler. Yeni üçgen $A'B'C'$, orijinal üçgenin orijine göre simetriğidir.

🎯 Sıra Sende - $A(2, 1)$, $B(3, 4)$ noktalarından geçen doğruyu orijin etrafında $90^\circ$ döndür. Yeni doğrunun denklemini bul.

İpucu: Önce iki noktayı da döndür, sonra yeni noktalardan geçen doğrunun eğimini hesapla.

Çözüm

$A(2, 1)$ noktasını $90^\circ$ döndür: $(x, y) \to (-y, x)$ olduğundan $A'(-1, 2)$.

$B(3, 4)$ noktasını $90^\circ$ döndür: $B'(-4, 3)$.

Yeni doğrunun eğimi:

$A'(-1, 2)$ noktasından geçen doğru:

Cevap: $\boxed{y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}}$

Orijinal doğrunun eğimi $m = \frac{4-1}{3-2} = 3$ idi. $90^\circ$ dönme sonrası $m' = -\frac{1}{3}$ oldu - yine $m' = -\frac{1}{m}$ kuralını doğruladık.

Kuralları artık biliyorsun: öteleme koordinatlara ekleme yapar, yansıma işaret değiştirir ya da koordinatların yerini değiştirir, dönme ise ikisini birden yapar. Bu kartta kuralları ezbere uygulamak yerine her sonucu kendin doğrulayarak çalışacaksın. Özellikle 270° dönme, $y = x$ yansıması ve iki dönüşümün art arda uygulanması üzerinde duracağız.

Her Uygulamada Kullanacağın Üç Soru

1. Hangi kural? Dönüşümü yaz: $(x, y) \rightarrow \;?$
2. Hangi sıra? Birden fazla dönüşüm varsa, ilkinin sonucu ikincinin başlangıç noktasıdır.
3. Mantıklı mı? Noktanın gittiği bölgeyi ve orijine uzaklığını kontrol et. Dönme ve yansıma orijine uzaklığı değiştirmez.

Uygulama 1: Bir Noktayı Üç Açıyla Döndür

$Q(-2, 5)$ noktasını orijin etrafında saat yönünün tersine $90^\circ$, $180^\circ$ ve $270^\circ$ döndür.

Çözümü Göster

• $90^\circ$: $(x, y) \rightarrow (-y, x)$ kuralıyla $Q(-2, 5) \rightarrow Q_1(-5, -2)$. Nokta üçüncü bölgeye geçti.
• $180^\circ$: $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$ kuralıyla $Q(-2, 5) \rightarrow Q_2(2, -5)$. Nokta dördüncü bölgeye geçti.
• $270^\circ$: $(x, y) \rightarrow (y, -x)$ kuralıyla $Q(-2, 5) \rightarrow Q_3(5, 2)$. Nokta birinci bölgeye geçti.

Uzaklık kontrolü: $|OQ| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{29}$ ve üç görüntünün de orijine uzaklığı $\sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$'dur. Dönme uzaklığı korudu.

Ayrıca $Q_3$, $Q_1$'in tam karşısındadır: $Q_3 = (5, 2)$ ve $Q_1 = (-5, -2)$. Çünkü $270^\circ$ dönme, $90^\circ$ dönmenin üstüne bir $180^\circ$ daha eklemektir.

Uygulama 2: $y = x$ Yansımasını Geometriyle Doğrula

$K(6, -1)$ noktasının $y = x$ doğrusuna göre yansımasını bul ve sonucun gerçekten bir yansıma olduğunu iki ölçüyle kanıtla.

Çözümü Göster

Kural $(x, y) \rightarrow (y, x)$ olduğundan $K(6, -1) \rightarrow K'(-1, 6)$. İşaretler değişmez, yalnızca koordinatlar yer değiştirir.

• Orta nokta: $\left(\frac{6 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 6}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$. Apsis ve ordinat eşit olduğu için bu nokta $y = x$ doğrusunun üzerindedir.
• Diklik: $KK'$ parçasının eğimi $\frac{6 - (-1)}{-1 - 6} = \frac{7}{-7} = -1$. Eğimlerin çarpımı $(-1) \cdot 1 = -1$ olduğundan $KK'$ ayna doğrusuna diktir.

İki koşul da sağlandığına göre $K'(-1, 6)$ gerçekten $K$'nin $y = x$'e göre yansımasıdır.

Uygulama 3: Bileşke Dönüşüm ve Sıranın Etkisi

Köşeleri $K(1, 1)$, $L(3, 1)$ ve $M(1, 4)$ olan üçgene önce $y = x$ doğrusuna göre yansıma, sonra orijin etrafında saat yönünün tersine $90^\circ$ dönme uygula. Ardından aynı iki dönüşümü ters sırayla uygula ve sonuçları karşılaştır.

Çözümü Göster

Sıra 1: önce $y = x$, sonra $90^\circ$

• $K(1, 1) \rightarrow (1, 1) \rightarrow K'(-1, 1)$
• $L(3, 1) \rightarrow (1, 3) \rightarrow L'(-3, 1)$
• $M(1, 4) \rightarrow (4, 1) \rightarrow M'(-1, 4)$

Sıra 2: önce $90^\circ$, sonra $y = x$

• $K(1, 1) \rightarrow (-1, 1) \rightarrow K''(1, -1)$
• $L(3, 1) \rightarrow (-1, 3) \rightarrow L''(3, -1)$
• $M(1, 4) \rightarrow (-4, 1) \rightarrow M''(1, -4)$

Birinci sırada üçgen $y$-eksenine göre yansımış gibi sola geçti. İkinci sırada ise $x$-eksenine göre yansımış gibi aşağı indi. Aynı iki dönüşüm, farklı sırayla tamamen farklı üçgenler üretti.

Bu sonucun her nokta için geçerli olduğunu genel kuralla gösterebilirsin:…